Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10372
2019-05-11 
Бильярдный шар катится без проскальзывания и ударяет точно такой же неподвижный шар. Считая удар центральным и абсолютно упругим, опишите движение шаров после столкновения. Докажите, что конечные параметры движения не зависят от коэффициента трения скольжения между шарами и бильярдным столом. Трение качения незначительно.
Решение:
Трение между двумя шарами незначительно, поэтому в процессе столкновения необходимо учитывать только нормальные (лобовые) силы реакции. Таким образом, в первый момент после столкновения первый шар останавливается, продолжая вращаться с угловой скоростью $\omega = v_{0} /r$, а второй шар приобретает скорость первого $v_{0}$ и движется без вращения (здесь $r$ - радиус шаров).
Однако трение между шарами и столом приводит к следующему. Первый шар после соударения начинает ускоряться силой трения $F_{тр} = \mu mg$ вперед, замедляя свое вращение, а второй шар за счет такой же силы замедляет свое поступательное движение, увеличивая угловую скорость (рис.). В обоих случаях происходит потеря энергии. Эти процессы продолжаются до тех пор, пока не станет выполняться условие отсутствия проскальзывания $\omega = v/r$ для каждого шара. После этого шары равномерно катятся без проскальзывания, и потерь энергии не происходит.
Каким же образом трение влияет на движение шаров после соударения? Рассмотрим подробнее процессы установления равномерного движения шаров. Отметим, что при решении задачи будем использовать закон сохранения (изменения) момента импульса для каждого шара относительно точки касания стола Р, в которой первый шар остановится после соударения (рис.). В этом случае нет внешних сил, которые могли бы изменить момент импульса наших шаров (сила трения проходит через точку Р).
Напомним выражение для момента импульса (при плоскопараллельном движении) относительно точки Р, не совпадающей с центром масс:
$\vec{L} = [ \vec{R}_{цм} \times m \vec{v}_{цм} ] + I_{0} \vec{ \omega}$,
где $I_{0}$ - момент инерции относительно центра масс. В общем случае
$L = rm v_{цм} + I_{0} \omega$.
В нашем случае, при отсутствии проскальзывания,
$|[ \vec{R}_{цм} \times m \vec{v}_{цм}]| = mr \cdot \omega r = mr^{2} \omega$,
и
$L = (I_{0} + mr^{2} ) \omega$.
Учитывая сказанное, можем написать уравнения
$I_{0} \omega_{0} = I \omega_{1}, m v_{0}r = I \omega_{2}$,
где $I_{0} = (2/5) mr^{2}$ - момент инерции шара относительно центра инерции, $I = (7/5) mr^{2}$ - момент инерции шара относительно точки касания стола, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ - установившиеся угловые скорости первого и второго шаров соответственно. Так как при установившемся качении угловая скорость равна частному от деления скорости движения центра масс на радиус шара, имеем дополнительные уравнения
$\omega_{1} = \frac{v_{1} }{r}, \omega_{2} = \frac{v_{2} }{r}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости движения центров масс первого и второго шаров соответственно. Таким образом, исходные уравнения приводятся к виду
$\frac{2}{5} mr^{2} \omega_{0} = \frac{7}{5} mr^{2} \frac{v_{1} }{r}$,
$mv_{0}r = \frac{7}{5}mr^{2} \frac{v_{2} }{r}$,
откуда легко получаем скорости центров масс первого шара: $v_{1} =(2/7)v_{0}$ и второго шара: $v_{2} = (5/7)v_{0}$. Видно, что первый шар не сможет догнать второй.
Заметим, при решении задачи нам не понадобилось обращаться к конкретному виду силы трения, поэтому результат будет всегда одним и тем же для любого трения. В то же время, при отсутствии трения первый шар после соударения остался бы на месте, вращаясь с угловой скоростью $\omega_{0}$, а второй двигался бы поступательно со скоростью $v_{0}$, и эти параметры движения не изменялись бы со временем.
Примечание. Интересно, что после столкновения двух тонких колец эти кольца через некоторое время будут катиться с одинаковыми скоростями, так как для колец $I_{0} = mr^{2}$.
Бильярдный шар катится без проскальзывания и ударяет точно такой же неподвижный шар. Считая удар центральным и абсолютно упругим, опишите движение шаров после столкновения. Докажите, что конечные параметры движения не зависят от коэффициента трения скольжения между шарами и бильярдным столом. Трение качения незначительно.
Решение:
Трение между двумя шарами незначительно, поэтому в процессе столкновения необходимо учитывать только нормальные (лобовые) силы реакции. Таким образом, в первый момент после столкновения первый шар останавливается, продолжая вращаться с угловой скоростью $\omega = v_{0} /r$, а второй шар приобретает скорость первого $v_{0}$ и движется без вращения (здесь $r$ - радиус шаров).
Однако трение между шарами и столом приводит к следующему. Первый шар после соударения начинает ускоряться силой трения $F_{тр} = \mu mg$ вперед, замедляя свое вращение, а второй шар за счет такой же силы замедляет свое поступательное движение, увеличивая угловую скорость (рис.). В обоих случаях происходит потеря энергии. Эти процессы продолжаются до тех пор, пока не станет выполняться условие отсутствия проскальзывания $\omega = v/r$ для каждого шара. После этого шары равномерно катятся без проскальзывания, и потерь энергии не происходит.
Каким же образом трение влияет на движение шаров после соударения? Рассмотрим подробнее процессы установления равномерного движения шаров. Отметим, что при решении задачи будем использовать закон сохранения (изменения) момента импульса для каждого шара относительно точки касания стола Р, в которой первый шар остановится после соударения (рис.). В этом случае нет внешних сил, которые могли бы изменить момент импульса наших шаров (сила трения проходит через точку Р).
Напомним выражение для момента импульса (при плоскопараллельном движении) относительно точки Р, не совпадающей с центром масс:
$\vec{L} = [ \vec{R}_{цм} \times m \vec{v}_{цм} ] + I_{0} \vec{ \omega}$,
где $I_{0}$ - момент инерции относительно центра масс. В общем случае
$L = rm v_{цм} + I_{0} \omega$.
В нашем случае, при отсутствии проскальзывания,
$|[ \vec{R}_{цм} \times m \vec{v}_{цм}]| = mr \cdot \omega r = mr^{2} \omega$,
и
$L = (I_{0} + mr^{2} ) \omega$.
Учитывая сказанное, можем написать уравнения
$I_{0} \omega_{0} = I \omega_{1}, m v_{0}r = I \omega_{2}$,
где $I_{0} = (2/5) mr^{2}$ - момент инерции шара относительно центра инерции, $I = (7/5) mr^{2}$ - момент инерции шара относительно точки касания стола, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ - установившиеся угловые скорости первого и второго шаров соответственно. Так как при установившемся качении угловая скорость равна частному от деления скорости движения центра масс на радиус шара, имеем дополнительные уравнения
$\omega_{1} = \frac{v_{1} }{r}, \omega_{2} = \frac{v_{2} }{r}$,
где $v_{1}$ и $v_{2}$ - скорости движения центров масс первого и второго шаров соответственно. Таким образом, исходные уравнения приводятся к виду
$\frac{2}{5} mr^{2} \omega_{0} = \frac{7}{5} mr^{2} \frac{v_{1} }{r}$,
$mv_{0}r = \frac{7}{5}mr^{2} \frac{v_{2} }{r}$,
откуда легко получаем скорости центров масс первого шара: $v_{1} =(2/7)v_{0}$ и второго шара: $v_{2} = (5/7)v_{0}$. Видно, что первый шар не сможет догнать второй.
Заметим, при решении задачи нам не понадобилось обращаться к конкретному виду силы трения, поэтому результат будет всегда одним и тем же для любого трения. В то же время, при отсутствии трения первый шар после соударения остался бы на месте, вращаясь с угловой скоростью $\omega_{0}$, а второй двигался бы поступательно со скоростью $v_{0}$, и эти параметры движения не изменялись бы со временем.
Примечание. Интересно, что после столкновения двух тонких колец эти кольца через некоторое время будут катиться с одинаковыми скоростями, так как для колец $I_{0} = mr^{2}$.
