Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10370
2019-05-11 
Точечный заряд находится внутри тонкой металлической сферической оболочки, но не в ее центре. Какая электрическая сила действует на заряд?
Решение:
Метод электрических изображений можно применить и к сферическим поверхностям. Пусть есть два точечных заряда $Q_{1}$ и $-Q_{2}$. В созданном ими электрическом поле положение точек нулевого потенциала задается уравнением
$k \frac{Q_{1} }{r_{1} } - k \frac{Q_{2} }{r_{2} } = 0$,
где $r_{1}$ и $r_{2}$ - расстояния от двух зарядов до общей точки на обсуждаемой поверхности. Прямая перестановка дает
$\frac{Q_{1}}{Q_{2} } = \frac{r_{1} }{r_{2} }$,
т.е. отношение расстояний $r_{1}/r_{2}$ постоянно. Как известно, точки с таким свойством лежат на сфере. Поэтому поверхность с нулевым потенциалом - это сфера.
Если данная в задаче металлическая сфера заземлена, то потенциал ее равен нулю. Точечный заряд $+Q$ внутри нее индуцирует неоднородное распределение заряда на внутренней поверхности металлической сферы, как показано на рисунке. Электрическое поле внутри металлической сферы, создаваемое фактическим зарядом и распределенным индуцированным зарядом, является таким же, как если бы оно было создано фактическим зарядом и отрицательным точечным зарядом вне сферической оболочки. Он и есть заряд-изображение для металлической сферической поверхности.
Распределение заряда внутри сферической металлической оболочки не зависит от потенциала оболочки. Если бы оболочка не была заземлена, то заряд $+Q$, оказался бы равномерно распределенным по ее внешней поверхности, независимо от внутреннего распределения заряда. Это объясняется тем, что электрическое поле внутри металла равно нулю, поэтому заряд на внешней поверхности оболочки не «знает» о присутствии заряда на ее внутренней поверхности. Внешнее электрическое поле заставляет его проявиться, как если бы замкнутый заряд находился в центре сферы.
Сила, действующая на заряд внутри оболочки, равна кулоновской силе, действующей между зарядом и зарядом-образом. Используем систему обозначений, показанную на рисунке: заряд $+Q$ находится на расстоянии $d$ от центра сферы радиусом $R$, в то время как заряд-изображение $- nQ$ находится на расстоянии $x$ от оболочки снаружи. Величину п можно найти, рассмотрев точки А и В пересечения сферической оболочки с прямой, соединяющей настоящий и фиктивный заряды:
$n = \frac{x}{R - d} = \frac{x + 2R}{R + d}$.
Отсюда получаем
$n = \frac{R}{d}$ и $x = \frac{R(R - d)}{d}$.
Сила $F$, действующая на заряд внутри сферической металлической оболочки, таким образом, равна
$F = - \frac{knQ^{2} }{(x + R - d)^{2} } = - \frac{kQ^{2}Rd }{(R^{2} - d^{2} )^{2} }$.
Ясно, что эта сила равна нулю, когда $d = 0$, и стремится к бесконечности при $d \rightarrow R$. Отрицательный знак в выражении для силы показывает, что она направлена в сторону фиктивного заряда.
Примечание. Распределение электрического заряда на внутренней поверхности сферической металлической оболочки можно рассчитать, используя теорему Гаусса. Величина поверхностной плотности заряда пропорциональна напряженности поля, полученного наложением полей реальных зарядов и зарядов-изображений.
Точечный заряд находится внутри тонкой металлической сферической оболочки, но не в ее центре. Какая электрическая сила действует на заряд?
Решение:
Метод электрических изображений можно применить и к сферическим поверхностям. Пусть есть два точечных заряда $Q_{1}$ и $-Q_{2}$. В созданном ими электрическом поле положение точек нулевого потенциала задается уравнением
$k \frac{Q_{1} }{r_{1} } - k \frac{Q_{2} }{r_{2} } = 0$,
где $r_{1}$ и $r_{2}$ - расстояния от двух зарядов до общей точки на обсуждаемой поверхности. Прямая перестановка дает
$\frac{Q_{1}}{Q_{2} } = \frac{r_{1} }{r_{2} }$,
т.е. отношение расстояний $r_{1}/r_{2}$ постоянно. Как известно, точки с таким свойством лежат на сфере. Поэтому поверхность с нулевым потенциалом - это сфера.
Если данная в задаче металлическая сфера заземлена, то потенциал ее равен нулю. Точечный заряд $+Q$ внутри нее индуцирует неоднородное распределение заряда на внутренней поверхности металлической сферы, как показано на рисунке. Электрическое поле внутри металлической сферы, создаваемое фактическим зарядом и распределенным индуцированным зарядом, является таким же, как если бы оно было создано фактическим зарядом и отрицательным точечным зарядом вне сферической оболочки. Он и есть заряд-изображение для металлической сферической поверхности.
Распределение заряда внутри сферической металлической оболочки не зависит от потенциала оболочки. Если бы оболочка не была заземлена, то заряд $+Q$, оказался бы равномерно распределенным по ее внешней поверхности, независимо от внутреннего распределения заряда. Это объясняется тем, что электрическое поле внутри металла равно нулю, поэтому заряд на внешней поверхности оболочки не «знает» о присутствии заряда на ее внутренней поверхности. Внешнее электрическое поле заставляет его проявиться, как если бы замкнутый заряд находился в центре сферы.
Сила, действующая на заряд внутри оболочки, равна кулоновской силе, действующей между зарядом и зарядом-образом. Используем систему обозначений, показанную на рисунке: заряд $+Q$ находится на расстоянии $d$ от центра сферы радиусом $R$, в то время как заряд-изображение $- nQ$ находится на расстоянии $x$ от оболочки снаружи. Величину п можно найти, рассмотрев точки А и В пересечения сферической оболочки с прямой, соединяющей настоящий и фиктивный заряды:
$n = \frac{x}{R - d} = \frac{x + 2R}{R + d}$.
Отсюда получаем
$n = \frac{R}{d}$ и $x = \frac{R(R - d)}{d}$.
Сила $F$, действующая на заряд внутри сферической металлической оболочки, таким образом, равна
$F = - \frac{knQ^{2} }{(x + R - d)^{2} } = - \frac{kQ^{2}Rd }{(R^{2} - d^{2} )^{2} }$.
Ясно, что эта сила равна нулю, когда $d = 0$, и стремится к бесконечности при $d \rightarrow R$. Отрицательный знак в выражении для силы показывает, что она направлена в сторону фиктивного заряда.
Примечание. Распределение электрического заряда на внутренней поверхности сферической металлической оболочки можно рассчитать, используя теорему Гаусса. Величина поверхностной плотности заряда пропорциональна напряженности поля, полученного наложением полей реальных зарядов и зарядов-изображений.
