2016-09-18
Два тела имеют одинаковые ребристые поверхности (см. рисунок). Какую среднюю силу в горизонтальном направлении, перпендикулярном рёбрам, нужно приложить к верхнему телу массой $m$, чтобы медленно тащить его по неподвижной горизонтальной поверхности второго тела с постоянной (в среднем) скоростью? Все рёбра одинаковые, симметричные, имеют ширину $l$ и высоту $h$. Поверхности граней рёбер гладкие, их соударения абсолютно неупругие.
Решение:
Рассмотрим сдвиг верхнего тела вдоль горизонтальной поверхности нижнего тела на ширину $l$ одного ребра (см. рис.). Пусть для того, чтобы сдвинуть тело на половину ширины ребра («приподнять» его), нам нужно приложить в горизонтальном направлении силу $f$. Так как по условию задачи верхнее тело движется с постоянной (в среднем) скоростью, то тангенциальная (параллельная поверхности ребра) компонента силы $f$ должна уравновешивать тангенциальную компоненту силы тяжести $mg$. Обозначив угол между образующими ребро гранями через $\alpha$, получаем:
$f \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) = mg \cos \frac{ \alpha}{2}$, откуда $f = mg ctg \frac{ \alpha}{2}$.
Работа силы $f$ на данном участке пути равна $A = f \frac{l}{2}$.
На второй половине пути, когда верхнее тело «скатывается под горку», для его смещения на вторую половину ширины ребра не нужно прикладывать никаких внешних сил — тело движется под действием силы тяжести, а запасённая на первом участке потенциальная энергия при соударении переходит в тепло. Следовательно, средняя сила, необходимая для перемещения тела на ширину $l$ ребра, равна
$F = \frac{A}{l} = \frac{f}{2} = \frac{mg}{2} ctg \frac{ \alpha}{2} = \frac{mgh}{l}$.
Заметим, что эффективный коэффициент трения равен
$\mu = \frac{F}{mg} = \frac{h}{l} = nh$,
где $n = 1/l$ — число рёбер на единицу длины поверхности.