Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10369
2019-05-11 
Пластмассовый шарик диаметром 1 см с равномерно распределенным зарядом $10^{-8} Кл$ подвешен на диэлектрической нити так, что его нижняя точка отстоит от поверхности морской воды на расстояние 1 см. В результате поверхность воды немного изгибается в сторону заряженного шарика, и вода под шариком приподнимается. На сколько повышается уровень воды непосредственно под шариком? Силы поверхностного натяжения не учитывайте, считайте плотность соленой воды равной $1000 кг/м^{3}$.
Решение:
Морская вода - хороший проводник, потому что в ней могут свободно перемещаться положительные и отрицательные ионы. Если близко к поверхности воды поднести заряженный пластмассовый шар, то на поверхности воды собираются заряды противоположного знака, в то время как одноименные заряды удаляются от нее. Так будет продолжаться до тех пор пока результирующее электрическое поле в проводнике не исчезнет.
Заряженный шар притягивает воду под собой и вспучивает поверхность. Электрические силы, возникающие в максимуме, скомпенсированы, главным образом, силами тяжести (эффект поверхностного натяжения не учитывается). Мы не знаем точно форму максимума, но ясно, что повышение уровня воды будет очень небольшим, поэтому достаточно найти подъем в точке Р, изображенной на рисунке.
Используем так называемый метод зеркальных изображений. В точке Р электрическое поле $E_{1}$, создаваемое зарядом $Q$, равно
$E_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ (3r)^{2} }$.
Электрическое поле, которое создается индуцированным поверхностным зарядом, эквивалентно полю зеркально отображенного заряда $-Q$, расположенного в глубине под поверхностью на расстоянии $3r$ (рис.). Электрическое поле в точке Р от заряда-изображения имеет ту же величину и направление, что и поле заряда $Q$, так что результирующее электрическое поле $E$ будет равно
$E = 2E_{1} = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ (3r)^{2} }$
Согласно теореме Гаусса, поверхностная плотность заряда в точке Р определяется формулой
$\sigma = \epsilon_{0} E = \frac{1}{2 \pi} \frac{Q}{(3r)^{2} }$.
Сила $F$, действующая на единицу площади водной поверхности, равна произведению поверхностной плотности заряда $\sigma$ на напряженность электрического поля шара $E_{1}$. Эта сила поднимает воду в точке Р до тех пор, пока не будет скомпенсирована силой гидростатического давления, связанного с повышением воды в максимуме:
$\sigma E_{1} = \rho gh$.
Отсюда найдем высоту $h$ подъема воды под зарядом:
$h = \frac{1}{ \rho g} \frac{1}{2 \pi} \frac{Q}{(3r)^{2} } \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{(3r)^{2} }$.
Подстановка числовых данных в это уравнение дает $h \approx 0,29 мм$, что является очень малой величиной по сравнению с диаметром шара и оправдывает наше предположение о небольшом отклонении водной поверхности от плоской.
Пластмассовый шарик диаметром 1 см с равномерно распределенным зарядом $10^{-8} Кл$ подвешен на диэлектрической нити так, что его нижняя точка отстоит от поверхности морской воды на расстояние 1 см. В результате поверхность воды немного изгибается в сторону заряженного шарика, и вода под шариком приподнимается. На сколько повышается уровень воды непосредственно под шариком? Силы поверхностного натяжения не учитывайте, считайте плотность соленой воды равной $1000 кг/м^{3}$.
Решение:
Морская вода - хороший проводник, потому что в ней могут свободно перемещаться положительные и отрицательные ионы. Если близко к поверхности воды поднести заряженный пластмассовый шар, то на поверхности воды собираются заряды противоположного знака, в то время как одноименные заряды удаляются от нее. Так будет продолжаться до тех пор пока результирующее электрическое поле в проводнике не исчезнет.
Заряженный шар притягивает воду под собой и вспучивает поверхность. Электрические силы, возникающие в максимуме, скомпенсированы, главным образом, силами тяжести (эффект поверхностного натяжения не учитывается). Мы не знаем точно форму максимума, но ясно, что повышение уровня воды будет очень небольшим, поэтому достаточно найти подъем в точке Р, изображенной на рисунке.
Используем так называемый метод зеркальных изображений. В точке Р электрическое поле $E_{1}$, создаваемое зарядом $Q$, равно
$E_{1} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ (3r)^{2} }$.
Электрическое поле, которое создается индуцированным поверхностным зарядом, эквивалентно полю зеркально отображенного заряда $-Q$, расположенного в глубине под поверхностью на расстоянии $3r$ (рис.). Электрическое поле в точке Р от заряда-изображения имеет ту же величину и направление, что и поле заряда $Q$, так что результирующее электрическое поле $E$ будет равно
$E = 2E_{1} = \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{ (3r)^{2} }$
Согласно теореме Гаусса, поверхностная плотность заряда в точке Р определяется формулой
$\sigma = \epsilon_{0} E = \frac{1}{2 \pi} \frac{Q}{(3r)^{2} }$.
Сила $F$, действующая на единицу площади водной поверхности, равна произведению поверхностной плотности заряда $\sigma$ на напряженность электрического поля шара $E_{1}$. Эта сила поднимает воду в точке Р до тех пор, пока не будет скомпенсирована силой гидростатического давления, связанного с повышением воды в максимуме:
$\sigma E_{1} = \rho gh$.
Отсюда найдем высоту $h$ подъема воды под зарядом:
$h = \frac{1}{ \rho g} \frac{1}{2 \pi} \frac{Q}{(3r)^{2} } \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{(3r)^{2} }$.
Подстановка числовых данных в это уравнение дает $h \approx 0,29 мм$, что является очень малой величиной по сравнению с диаметром шара и оправдывает наше предположение о небольшом отклонении водной поверхности от плоской.
