Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10366
2019-05-11 
Ракета возвращается к планете таким образом, что ее вектор скорости параллелен вектору скорости при запуске. Угол между радиусами, проведенными из центра планеты к пунктам запуска и прибытия, равен $\theta$. Считайте планету сферической радиусом $R$. Как долго продолжался полет ракеты, если период обращения спутника, летящего вокруг планеты прямо над ее поверхностью, равен $T$? Чему равно максимальное удаление ракеты от поверхности планеты? Применим ли ваш анализ к крайнему случаю, когда $\theta \rightarrow 0$.
Решение:
Согласно первому закону Кеплера, орбита ракеты -эллипс с одним из фокусов в центре планеты. Скорости запуска и возвращения ракеты параллельны друг другу (хотя и направлены противоположно друг другу), поэтому точки запуска и возвращения находятся на концах малой оси эллипса (рис.). Но для эллипса расстояние от фокуса до любого конца малой оси равно длине $a$ его большой полуоси, следовательно, $a = R$.
Из третьего закона Кеплера следует, что спутники на орбитах, имеющих различные эксцентриситеты, но те же самые длины главных осей, имеют равные периоды. Это означает, что в нашем случае период для полной орбиты был бы равен $T$. Ракета, однако, проходит только половину эллипса. Время, требуемое для этого, не составляет половину полного периода, но пропорционально области, заметаемой радиусом-вектором, соединяющим ракету с фокусом (второй закон Кеплера). Площадь целого эллипса равна
$S = \pi ab = \pi a^{2} \sin \frac{ \theta}{2}$.
Заметаемая площадь для половины орбиты составляет
$S_{1} = \frac{ \pi ab}{2} + \frac{2bc}{2} = \frac{1}{2} \pi a^{2} \sin \frac{ \theta}{2} + a^{2} \sin \frac{ \theta}{2} \cos \frac{ \theta}{2}$.
Таким образом, время $T_{1}$ полета ракеты равно
$T_{1} = T \frac{S_{1} }{S} = T \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \pi} \cos \frac{ \theta}{2} \right )$.
Максимальное расстояние над поверхностью планеты составляет
$c = R \cos \frac{ \theta}{2} \leq R$.
Если угол между точками запуска и прибытия приближается к нулю ($\theta \rightarrow 0$), то расчетное время $T_{1}$ полета приближается к максимальному значению:
$T_{1} \rightarrow T \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \pi} \right )$.
а максимальная высота достигает радиуса планеты: $c \rightarrow R$. Но если место взлета и возвращения то же самое ($\theta = 0$), то ракета может достичь любой произвольной высоты, большой или маленькой. Здесь имеется в виду то, что период и максимальная высота не являются непрерывными функциями в точке $\theta = 0$.
Если скорость запуска достаточно большая (равна или больше первой космической скорости $v_{1} = \sqrt{Rg}$) и направлена по касательной к поверхности планеты, то возможна орбита, показанная на рисунке. Скорость возвращения опять параллельна скорости запуска, но на сей раз они направлены одинаково. Максимальная высота может быть любой, но период должен быть по крайней мере равен $T$. Эти орбиты соответствуют частному случаю $\theta = 0$.
Ракета возвращается к планете таким образом, что ее вектор скорости параллелен вектору скорости при запуске. Угол между радиусами, проведенными из центра планеты к пунктам запуска и прибытия, равен $\theta$. Считайте планету сферической радиусом $R$. Как долго продолжался полет ракеты, если период обращения спутника, летящего вокруг планеты прямо над ее поверхностью, равен $T$? Чему равно максимальное удаление ракеты от поверхности планеты? Применим ли ваш анализ к крайнему случаю, когда $\theta \rightarrow 0$.
Решение:
Согласно первому закону Кеплера, орбита ракеты -эллипс с одним из фокусов в центре планеты. Скорости запуска и возвращения ракеты параллельны друг другу (хотя и направлены противоположно друг другу), поэтому точки запуска и возвращения находятся на концах малой оси эллипса (рис.). Но для эллипса расстояние от фокуса до любого конца малой оси равно длине $a$ его большой полуоси, следовательно, $a = R$.
Из третьего закона Кеплера следует, что спутники на орбитах, имеющих различные эксцентриситеты, но те же самые длины главных осей, имеют равные периоды. Это означает, что в нашем случае период для полной орбиты был бы равен $T$. Ракета, однако, проходит только половину эллипса. Время, требуемое для этого, не составляет половину полного периода, но пропорционально области, заметаемой радиусом-вектором, соединяющим ракету с фокусом (второй закон Кеплера). Площадь целого эллипса равна
$S = \pi ab = \pi a^{2} \sin \frac{ \theta}{2}$.
Заметаемая площадь для половины орбиты составляет
$S_{1} = \frac{ \pi ab}{2} + \frac{2bc}{2} = \frac{1}{2} \pi a^{2} \sin \frac{ \theta}{2} + a^{2} \sin \frac{ \theta}{2} \cos \frac{ \theta}{2}$.
Таким образом, время $T_{1}$ полета ракеты равно
$T_{1} = T \frac{S_{1} }{S} = T \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \pi} \cos \frac{ \theta}{2} \right )$.
Максимальное расстояние над поверхностью планеты составляет
$c = R \cos \frac{ \theta}{2} \leq R$.
Если угол между точками запуска и прибытия приближается к нулю ($\theta \rightarrow 0$), то расчетное время $T_{1}$ полета приближается к максимальному значению:
$T_{1} \rightarrow T \left ( \frac{1}{2} + \frac{1}{ \pi} \right )$.
а максимальная высота достигает радиуса планеты: $c \rightarrow R$. Но если место взлета и возвращения то же самое ($\theta = 0$), то ракета может достичь любой произвольной высоты, большой или маленькой. Здесь имеется в виду то, что период и максимальная высота не являются непрерывными функциями в точке $\theta = 0$.
Если скорость запуска достаточно большая (равна или больше первой космической скорости $v_{1} = \sqrt{Rg}$) и направлена по касательной к поверхности планеты, то возможна орбита, показанная на рисунке. Скорость возвращения опять параллельна скорости запуска, но на сей раз они направлены одинаково. Максимальная высота может быть любой, но период должен быть по крайней мере равен $T$. Эти орбиты соответствуют частному случаю $\theta = 0$.
