Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10361
2019-05-11 
Материальная точка массой 0,5 кг перемещается с постоянной скоростью 5 м/с по эллиптическому треку. Когда точка находится на конце большой оси эллипса, на нее действует сила 10 Н, когда на конце малой оси - всего лишь 1,25 Н. Каковы длины осей эллипса?
Решение:
Можно доказать, что радиусы кривизны эллипса в конечных точках его осей равны $b^{2}/a$ и $a^{2}/b$, где $2a$ и $2b$ - длины большей и малой осей соответственно. Этот геометрический результат можно получить, пользуясь методами аналитической геометрии или рассматривая одну из многих возможных физических ситуаций.
Рассмотрим планету, движущуюся по эллиптической орбите вокруг Солнца. Второй закон Ньютона, примененный в конечной точке большой оси эллипса, находящейся на расстоянии $r$ от Солнца, дает
$\frac{GM}{r^{2} } = \frac{v^{2} }{R}$,
где $R$ - радиус кривизны в конечной точке, $M$ - масса Солнца. Согласно третьему закону Кеплера, период $T$ движения по орбите равен $2 \pi \sqrt{a^{3}/(GM)}$. В соответствии со вторым законом Кеплера, радиус-вектор планеты в равные промежутки времени заметает равные площади. Площадь эллипса равна $\pi ab$. Отсюда для случая, когда планета находится в конечной точке большой оси, получаем
$\frac{vr}{2} = \frac{ab}{2} \sqrt{ \frac{GM}{a^{3} } }$.
Сравнивая два приведенных уравнения, находим, что $R = b^{2}/a$.
Мы использовали тот факт, что фокусы эллипса находятся на большой оси. Для точек малой оси это доказательство применить нельзя. Однако что касается радиусов кривизны в соответствующих точках, то эти две оси симметричны.
Равномерное движение материальной точки в задаче удовлетворяет уравнению $F = mv^{2}/R$, где $R$ - соответствующий радиус кривизны. Используя приведенные данные, получим $b^{2}/a = 1,25 м$ и $a^{2}/b = 10 м$, следовательно, $2a = 10 м$ и $2b = 5 м$.
Примечание. Радиусы кривизны эллипса можно также найти, используя известные формулы гармонического движения. Рассчитаем движение точки, перемещающейся в плоскости ху по эллипсу с полуосями $a$ и $b$, согласно уравнениям
$x = a \cos \omega t, y = b \sin \omega t$.
При $t = 0$ точка находится на конце главной оси эллипса и движется со скоростью $v = b \omega$ и ускорением $A = a \omega^{2}$. С другой стороны, ускорение равно $A = v^{2}/R$. Таким образом, радиус кривизны составляет $R = b^{2}/a$. Точно так же мы находим радиус кривизны на конце малой оси, который равен $a^{2}/b$.
Материальная точка массой 0,5 кг перемещается с постоянной скоростью 5 м/с по эллиптическому треку. Когда точка находится на конце большой оси эллипса, на нее действует сила 10 Н, когда на конце малой оси - всего лишь 1,25 Н. Каковы длины осей эллипса?
Решение:
Можно доказать, что радиусы кривизны эллипса в конечных точках его осей равны $b^{2}/a$ и $a^{2}/b$, где $2a$ и $2b$ - длины большей и малой осей соответственно. Этот геометрический результат можно получить, пользуясь методами аналитической геометрии или рассматривая одну из многих возможных физических ситуаций.
Рассмотрим планету, движущуюся по эллиптической орбите вокруг Солнца. Второй закон Ньютона, примененный в конечной точке большой оси эллипса, находящейся на расстоянии $r$ от Солнца, дает
$\frac{GM}{r^{2} } = \frac{v^{2} }{R}$,
где $R$ - радиус кривизны в конечной точке, $M$ - масса Солнца. Согласно третьему закону Кеплера, период $T$ движения по орбите равен $2 \pi \sqrt{a^{3}/(GM)}$. В соответствии со вторым законом Кеплера, радиус-вектор планеты в равные промежутки времени заметает равные площади. Площадь эллипса равна $\pi ab$. Отсюда для случая, когда планета находится в конечной точке большой оси, получаем
$\frac{vr}{2} = \frac{ab}{2} \sqrt{ \frac{GM}{a^{3} } }$.
Сравнивая два приведенных уравнения, находим, что $R = b^{2}/a$.
Мы использовали тот факт, что фокусы эллипса находятся на большой оси. Для точек малой оси это доказательство применить нельзя. Однако что касается радиусов кривизны в соответствующих точках, то эти две оси симметричны.
Равномерное движение материальной точки в задаче удовлетворяет уравнению $F = mv^{2}/R$, где $R$ - соответствующий радиус кривизны. Используя приведенные данные, получим $b^{2}/a = 1,25 м$ и $a^{2}/b = 10 м$, следовательно, $2a = 10 м$ и $2b = 5 м$.
Примечание. Радиусы кривизны эллипса можно также найти, используя известные формулы гармонического движения. Рассчитаем движение точки, перемещающейся в плоскости ху по эллипсу с полуосями $a$ и $b$, согласно уравнениям
$x = a \cos \omega t, y = b \sin \omega t$.
При $t = 0$ точка находится на конце главной оси эллипса и движется со скоростью $v = b \omega$ и ускорением $A = a \omega^{2}$. С другой стороны, ускорение равно $A = v^{2}/R$. Таким образом, радиус кривизны составляет $R = b^{2}/a$. Точно так же мы находим радиус кривизны на конце малой оси, который равен $a^{2}/b$.
