Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10360
2019-05-11 
Мост в форме выпуклой параболы перекинут через реку шириной 100 м (рис.). Самая высокая точка моста находится выше уровня берегов Рис. 35 на 5 м. Автомобиль массой 1000 кг движется по мосту с постоянной скоростью 20 м/с. Найдите силу, с которой автомобиль давит на мост, когда он:
а) находится в самой высокой точке моста;
б) прошел три четверти длины моста.
Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
а) В самой высокой точке моста уравнение движения автомобиля записывается в виде
$mg - N = \frac{mv^{2} }{r}$,
где $N$ - сила нормальной реакции моста, численно равная силе давления на мост, $v = 20 м/с$ - скорость автомобиля и $r$ - радиус кривизны моста. Наиболее трудная часть задачи - определить радиус кривизны.
Если бы мы могли найти движение по такой траектории, для которой хорошо известно нормальное ускорение, то радиус кривизны можно было бы легко рассчитать. Предлагаемый аналог для параболической траектории - это свободный полет снаряда. Пусть снаряд имеет начальную скорость $v_{0}$, направленную под углом $\alpha$ с горизонту. Дальность ($d = 100 м$) и высота ($h = 5 м$) снаряда могут быть выражены, используя начальные данные:
$d = \frac{2v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{g}, h = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Отсюда находим $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{4h}{d}$ ($\alpha \approx 11,3^{ \circ} $)
и горизонтальную составляющую начальной скорости:
$v_{x} = v_{0} \cos \alpha = \frac{d \sqrt{2g/h } }{4} = 50 м/с$.
Теперь находим радиус кривизны моста в самой высокой его точке:
$r = \frac{v_{x}^{2} }{g}$
и силу нормальной реакции:
$N = m \left ( g - \frac{v^{2} }{r} \right ) = mg \left ( 1 - \frac{v^{2} }{v_{x}^{2} } \right ) = 8,40 кН$.
б) Силу реакции, возникающую при движении автомобиля в любом другом месте моста, можно рассчитать таким же образом, т.е. используя радиус кривизны. В точке, соответствующей трем четвертям длины моста, радиус кривизны равен $r \approx 254 м$, а сила нормальной реакции равна $N \approx 8,37 кН$. В этой точке моста есть также касательная сила реакций (сила трения), приблизительно равная 995 Н, так что результирующая сила реакции составляет приблизительно 8,43 кН.
Мост в форме выпуклой параболы перекинут через реку шириной 100 м (рис.). Самая высокая точка моста находится выше уровня берегов Рис. 35 на 5 м. Автомобиль массой 1000 кг движется по мосту с постоянной скоростью 20 м/с. Найдите силу, с которой автомобиль давит на мост, когда он:
а) находится в самой высокой точке моста;
б) прошел три четверти длины моста.
Сопротивлением воздуха пренебречь и считать ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
а) В самой высокой точке моста уравнение движения автомобиля записывается в виде
$mg - N = \frac{mv^{2} }{r}$,
где $N$ - сила нормальной реакции моста, численно равная силе давления на мост, $v = 20 м/с$ - скорость автомобиля и $r$ - радиус кривизны моста. Наиболее трудная часть задачи - определить радиус кривизны.
Если бы мы могли найти движение по такой траектории, для которой хорошо известно нормальное ускорение, то радиус кривизны можно было бы легко рассчитать. Предлагаемый аналог для параболической траектории - это свободный полет снаряда. Пусть снаряд имеет начальную скорость $v_{0}$, направленную под углом $\alpha$ с горизонту. Дальность ($d = 100 м$) и высота ($h = 5 м$) снаряда могут быть выражены, используя начальные данные:
$d = \frac{2v_{0}^{2} \sin \alpha \cos \alpha }{g}, h = \frac{v_{0}^{2} \sin^{2} \alpha }{2g}$.
Отсюда находим $tg \alpha$:
$tg \alpha = \frac{4h}{d}$ ($\alpha \approx 11,3^{ \circ} $)
и горизонтальную составляющую начальной скорости:
$v_{x} = v_{0} \cos \alpha = \frac{d \sqrt{2g/h } }{4} = 50 м/с$.
Теперь находим радиус кривизны моста в самой высокой его точке:
$r = \frac{v_{x}^{2} }{g}$
и силу нормальной реакции:
$N = m \left ( g - \frac{v^{2} }{r} \right ) = mg \left ( 1 - \frac{v^{2} }{v_{x}^{2} } \right ) = 8,40 кН$.
б) Силу реакции, возникающую при движении автомобиля в любом другом месте моста, можно рассчитать таким же образом, т.е. используя радиус кривизны. В точке, соответствующей трем четвертям длины моста, радиус кривизны равен $r \approx 254 м$, а сила нормальной реакции равна $N \approx 8,37 кН$. В этой точке моста есть также касательная сила реакций (сила трения), приблизительно равная 995 Н, так что результирующая сила реакции составляет приблизительно 8,43 кН.
