Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10356
2019-05-11 
Один конец легкой слабой пружины в нерастянутом состоянии шарнирно закреплен в точке О, ко второму концу
прикреплен шарик массой $M$. Шарик с $m$ пружиной приводят в горизонтальное положение и отпускают (рис.). Чему равна длина пружины в тот момент, когда она проходит вертикальное положение? Жесткость пружины $k$, длина свободной пружины $L$. Слабость пружины означает, что $mg \geq kL$.
Решение:
Из-за слабости пружины груз сначала фактически свободно падает. Вскоре длина пружины становится в несколько раз больше ее нерастянутой длины $L$, которой можно будет пренебречь в течение последующего движения. С таким приближением можно считать, что груз совершает гармонические колебания по вертикали и по горизонтали. Поскольку груз отпущен без начальной скорости, он оказывается под точкой подвеса (на оси у) через четверть периода горизонтального движения. Тем временем, вертикальное движение также завершило четверть цикла, и груз пришел в свое положение равновесия на высоте $mg/k$ (это намного больше, чем $L$).
Движение можно описать и количественно. Уравнения движения груза в точке (х, у) следующие:
$ma_{x} = - kx \frac{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } - L }{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$,
$ma_{y} = - ky \left ( \frac{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } - L }{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } \right ) + mg$.
Вначале, пока удлинение пружины ненамного больше $L$, силой растяжения пружины можно пренебречь. С другой стороны, когда $\sqrt{x^{2} + y^{2}} \gg L$, можно пренебречь первоначальной длиной пружины. Тогда уравнения движения приобретают простой вид:
$ma_{x} = - kx$,
$ma_{y} = - ky + mg$.
Эти уравнения описывают гармонические колебания относительно начала координат в х-направлении и относительно положения равновесия в y-направлении. Объединение начальных условий дает решение в виде
$x(t) = L \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$,
$y(t) = \frac{mg}{k} \left ( 1 - L \cos \sqrt{ \frac{k}{m}}t \right )$.
Тело находится под точкой подвеса, когда
$x(t) = 0$ и $y = y_{0} = \frac{mg}{k}$,
что соответствует нашим предыдущим результатам.
Примечание. Для ранней стадии движения, т.е. при $t \ll \sqrt{ \frac{m}{k} }$ (когда принятые уравнения движения строго обоснованы), выражения для х и у можно упростить: $x(t) \approx L$ и $y(t) \approx \frac{gt^{2}}{2}$. Это согласуется с формулами, описывающими свободное падение, действительно соответствующее начальной стадии движения.
Один конец легкой слабой пружины в нерастянутом состоянии шарнирно закреплен в точке О, ко второму концу
прикреплен шарик массой $M$. Шарик с $m$ пружиной приводят в горизонтальное положение и отпускают (рис.). Чему равна длина пружины в тот момент, когда она проходит вертикальное положение? Жесткость пружины $k$, длина свободной пружины $L$. Слабость пружины означает, что $mg \geq kL$.
Решение:
Из-за слабости пружины груз сначала фактически свободно падает. Вскоре длина пружины становится в несколько раз больше ее нерастянутой длины $L$, которой можно будет пренебречь в течение последующего движения. С таким приближением можно считать, что груз совершает гармонические колебания по вертикали и по горизонтали. Поскольку груз отпущен без начальной скорости, он оказывается под точкой подвеса (на оси у) через четверть периода горизонтального движения. Тем временем, вертикальное движение также завершило четверть цикла, и груз пришел в свое положение равновесия на высоте $mg/k$ (это намного больше, чем $L$).
Движение можно описать и количественно. Уравнения движения груза в точке (х, у) следующие:
$ma_{x} = - kx \frac{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } - L }{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }$,
$ma_{y} = - ky \left ( \frac{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } - L }{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } \right ) + mg$.
Вначале, пока удлинение пружины ненамного больше $L$, силой растяжения пружины можно пренебречь. С другой стороны, когда $\sqrt{x^{2} + y^{2}} \gg L$, можно пренебречь первоначальной длиной пружины. Тогда уравнения движения приобретают простой вид:
$ma_{x} = - kx$,
$ma_{y} = - ky + mg$.
Эти уравнения описывают гармонические колебания относительно начала координат в х-направлении и относительно положения равновесия в y-направлении. Объединение начальных условий дает решение в виде
$x(t) = L \cos \sqrt{ \frac{k}{m} } t$,
$y(t) = \frac{mg}{k} \left ( 1 - L \cos \sqrt{ \frac{k}{m}}t \right )$.
Тело находится под точкой подвеса, когда
$x(t) = 0$ и $y = y_{0} = \frac{mg}{k}$,
что соответствует нашим предыдущим результатам.
Примечание. Для ранней стадии движения, т.е. при $t \ll \sqrt{ \frac{m}{k} }$ (когда принятые уравнения движения строго обоснованы), выражения для х и у можно упростить: $x(t) \approx L$ и $y(t) \approx \frac{gt^{2}}{2}$. Это согласуется с формулами, описывающими свободное падение, действительно соответствующее начальной стадии движения.
