Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10355
2019-05-11 
Нерастянутая легкая пружина закреплена своими концами в горизонтальном положении. Посередине пружины закреплен маленький шарик массой $m$ (рис.). Шарик смещают поперек пружины на 1 см и отпускают. Период поперечных колебаний шарика $T_{1}$ оказался равным 2 с. Чему будет равен период колебаний $T_{2}$, если начальное смещение будет 2 см? Силу тяжести не учитывать и считать, что длина пружины много больше поперечных смещений шарика.
Решение:
Пусть $x$ - смещение шарика массой $m$ по вертикали, $F_{пр}$ - сила натяжения пружины. Вычислим силу $F$, действующую на шарик. Длина растянутой пружины равна (рис.)
$l = \sqrt{l_{0}^{2} + x^{2} } \approx l_{0} + \frac{x^{2} }{2l_{0} }$,
поэтому сила натяжения в ней равна
$F_{пр} = k(l - l_{0}) = \frac{kx^{2} }{2l_{0} }$,
где $k$ - жесткость пружины. Результирующая сила $F$, действующая на шарик, составляет (рис.)
$F = - 2 F_{пр} \sin \theta \approx - 2F_{пр} \frac{x}{l_{0} } = - k \frac{x^{3} }{l_{0}^{2} }$.
Таким образом, уравнение движения выглядит следующим образом:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - \frac{kx^{3} }{l_{0}^{2}}$.
Это дифференциальное уравнение нельзя решить элементарными методами. Однако попробуем использовать метод размерностей. Перепишем уравнение в виде
$\frac{d^{2}x}{dt^{2} } = - \frac{kx^{3}}{ml_{0}^{2} } = - Cx^{3}$.
Мы можем предположить, что период колебаний $T$ зависит только от константы $C$ и амплитуды колебаний $A$. Тогда можно записать
$T \sim C^{ \alpha }A^{ \beta}$.
Воспользовавшись методом размерностей (подробнее о нем рассказано в предыдущей задаче), получаем
$с = с^{ - 2 \alpha} \cdot м^{ -2 \alpha} \cdot м^{ \beta}$,
или
$1 = -2 \alpha, 0 = -2 \alpha + \beta$.
Отсюда $\alpha = - 1/2$ и $\beta = -1$, т.е $T \sim 1/A$. Это означает, что при удвоении амплитуды период уменьшается в два раза.
Так как для метода размерностей выбор переменных для подстановки может показаться довольно произвольным, то, в некоторой степени сомневаясь в достоверности достигнутых заключений, дадим еще один метод решения этой задачи.
Скорость шарика $v$ как функцию его отклонения из положения равновесия $x$ можно рассчитать из закона сохранения энергии. Запасенная энергия в двух половинах пружины, когда шарик находится в покое в точке его максимального смещения $x = A$, должна быть равна сумме кинетической энергии шарика и запасенной энергии пружины для какого-то произвольного смещения $x$. Поскольку удлинение $\Delta l$ каждой пружины определяется формулой $\Delta l = \frac{x^{2}}{2l_{0}}$, то равенство энергий записывается в виде
$2k \frac{ \left ( \frac{A^{2} }{2l_{0} } \right )^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + 2k \frac{ \left ( \frac{x^{2} }{2l_{0} } \right )^{2} }{2}$.
Из этого уравнения можно выразить скорость шарика:
$\frac{dx}{dt} = v = \frac{1}{l_{0} } \sqrt{ \frac{k}{2m} } \sqrt{A^{4} - x^{4} }$.
После разделения переменных получаем
$l_{0} \sqrt{ \frac{2m}{k} } \int \left ( \frac{1}{ \sqrt{A^{4} - x^{4} } } \right ) dx = \int dt = \frac{T}{4}$,
где пределы интегрирования для координаты $x$ взяты от 0 до $A$, а для времени - от 0 до $T/4$. Введем новую переменную $y = x/A$, тогда окончательный результат запишется в виде
$T = \frac{l_{0} }{A} \sqrt{ \frac{32m}{k} } \int \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - y^{4} } } \right ) dy$,
где пределы интегрирования для $y$ взяты от 0 до 1.
Это выражение непосредственно показывает, что период обратно пропорционален амплитуде, так что удвоение амплитуды колебаний снижает период до 1 с.
Примечание. Определенный интеграл в последнем выражении можно оценить, используя всего лишь программируемый калькулятор:
$\int \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - y^{4} } } \right ) dy = 1,31$ (в пределах от 0 до 1),
что приводит к полному решению задачи.
Нерастянутая легкая пружина закреплена своими концами в горизонтальном положении. Посередине пружины закреплен маленький шарик массой $m$ (рис.). Шарик смещают поперек пружины на 1 см и отпускают. Период поперечных колебаний шарика $T_{1}$ оказался равным 2 с. Чему будет равен период колебаний $T_{2}$, если начальное смещение будет 2 см? Силу тяжести не учитывать и считать, что длина пружины много больше поперечных смещений шарика.
Решение:
Пусть $x$ - смещение шарика массой $m$ по вертикали, $F_{пр}$ - сила натяжения пружины. Вычислим силу $F$, действующую на шарик. Длина растянутой пружины равна (рис.)
$l = \sqrt{l_{0}^{2} + x^{2} } \approx l_{0} + \frac{x^{2} }{2l_{0} }$,
поэтому сила натяжения в ней равна
$F_{пр} = k(l - l_{0}) = \frac{kx^{2} }{2l_{0} }$,
где $k$ - жесткость пружины. Результирующая сила $F$, действующая на шарик, составляет (рис.)
$F = - 2 F_{пр} \sin \theta \approx - 2F_{пр} \frac{x}{l_{0} } = - k \frac{x^{3} }{l_{0}^{2} }$.
Таким образом, уравнение движения выглядит следующим образом:
$m \frac{d^{2}x }{dt^{2} } = - \frac{kx^{3} }{l_{0}^{2}}$.
Это дифференциальное уравнение нельзя решить элементарными методами. Однако попробуем использовать метод размерностей. Перепишем уравнение в виде
$\frac{d^{2}x}{dt^{2} } = - \frac{kx^{3}}{ml_{0}^{2} } = - Cx^{3}$.
Мы можем предположить, что период колебаний $T$ зависит только от константы $C$ и амплитуды колебаний $A$. Тогда можно записать
$T \sim C^{ \alpha }A^{ \beta}$.
Воспользовавшись методом размерностей (подробнее о нем рассказано в предыдущей задаче), получаем
$с = с^{ - 2 \alpha} \cdot м^{ -2 \alpha} \cdot м^{ \beta}$,
или
$1 = -2 \alpha, 0 = -2 \alpha + \beta$.
Отсюда $\alpha = - 1/2$ и $\beta = -1$, т.е $T \sim 1/A$. Это означает, что при удвоении амплитуды период уменьшается в два раза.
Так как для метода размерностей выбор переменных для подстановки может показаться довольно произвольным, то, в некоторой степени сомневаясь в достоверности достигнутых заключений, дадим еще один метод решения этой задачи.
Скорость шарика $v$ как функцию его отклонения из положения равновесия $x$ можно рассчитать из закона сохранения энергии. Запасенная энергия в двух половинах пружины, когда шарик находится в покое в точке его максимального смещения $x = A$, должна быть равна сумме кинетической энергии шарика и запасенной энергии пружины для какого-то произвольного смещения $x$. Поскольку удлинение $\Delta l$ каждой пружины определяется формулой $\Delta l = \frac{x^{2}}{2l_{0}}$, то равенство энергий записывается в виде
$2k \frac{ \left ( \frac{A^{2} }{2l_{0} } \right )^{2} }{2} = \frac{mv^{2} }{2} + 2k \frac{ \left ( \frac{x^{2} }{2l_{0} } \right )^{2} }{2}$.
Из этого уравнения можно выразить скорость шарика:
$\frac{dx}{dt} = v = \frac{1}{l_{0} } \sqrt{ \frac{k}{2m} } \sqrt{A^{4} - x^{4} }$.
После разделения переменных получаем
$l_{0} \sqrt{ \frac{2m}{k} } \int \left ( \frac{1}{ \sqrt{A^{4} - x^{4} } } \right ) dx = \int dt = \frac{T}{4}$,
где пределы интегрирования для координаты $x$ взяты от 0 до $A$, а для времени - от 0 до $T/4$. Введем новую переменную $y = x/A$, тогда окончательный результат запишется в виде
$T = \frac{l_{0} }{A} \sqrt{ \frac{32m}{k} } \int \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - y^{4} } } \right ) dy$,
где пределы интегрирования для $y$ взяты от 0 до 1.
Это выражение непосредственно показывает, что период обратно пропорционален амплитуде, так что удвоение амплитуды колебаний снижает период до 1 с.
Примечание. Определенный интеграл в последнем выражении можно оценить, используя всего лишь программируемый калькулятор:
$\int \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 - y^{4} } } \right ) dy = 1,31$ (в пределах от 0 до 1),
что приводит к полному решению задачи.
