Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10354
2019-05-11 
Получите аргументированную оценку времени пересыпания песка в песочных часах из верхнего сосуда в нижний (рис.). Используйте реальные данные.
Решение:
Песок течет через отверстие почти равномерно, и поэтому полное время работы песочных часов $T$ пропорционально объему песка, т.е. $H^{3}$. Время $T$ может также зависеть от ускорения свободного падения $g$, диаметра отверстия $d$ и плотности песка $\rho$.
А теперь воспользуемся хорошо известным в физике методом размерностей. Допустим, что величины $T, H, g, d$ и $\rho$ связаны степенной зависимостью:
$T \sim H^{3}g^{ \alpha}d^{ \beta} \rho^{ \gamma}$, или $T = k H^{3}g^{ \alpha} d^{ \beta} \rho^{ \gamma}$.
Здесь $k$ - безразмерный числовой коэффициент, а $\alpha, \beta$ и $|gamma$ -некоторые числа, которые нам надо определить.
Выпишем размерности всех интересующих нас величин в какой-либо одной системе единиц, например в СИ:
$[T] = с , [H] = м , [g] = м \cdot с^{- 2} , [d] = м, [ \rho] = кг \cdot м^{-3}$.
Левая и правая части записанной нами формулы должны, конечно же, иметь одинаковые размерности. Это означает, что должно выполняться равенство
$с = м^{3} \cdot м^{ \alpha} \cdot с^{ - 2 \alpha} \cdot м^{ \beta} \cdot кг^{ \gamma} \cdot м^{ - 3 \gamma}$.
В левой части вообще нет килограммов, поэтому сразу получаем
$\gamma = 0$.
Слева секунды присутствуют в первой степени, а справа - в степени $- 2 \alpha$; следовательно,
$1 = -2 \alpha$, или $\alpha = - \frac{1}{2}$.
Аналогичное равенство запишем для метров:
$0 = 3 + \alpha + \beta - 3 \gamma$,
откуда находим
$\beta = 3 \gamma - \alpha - 3 = 0 + \frac{1}{2} - 3 = - \frac{5}{2}$.
В итоге получаем
$T = kH^{3}g^{-1/2}d^{-5/2}$.
Заметим, что коэффициент пропорциональности $k$ методом размерностей, естественно, определить нельзя. Но если нас интересуют оценки по порядку величины, то $k$ можно считать числом порядка единицы.
Пусть, например, высота $H$ песочных часов составляет несколько сантиметров, а диаметр $d$ порядка миллиметра. Тогда время $T$ оказывается равным нескольким минутам. За это время, скажем, может свариться яйцо для завтрака.
Примечание. В принципе, средний диаметр песчинки мог быть тоже включен в формулу. Однако он намного меньше, чем другие используемые длины, поэтому не может играть существенную роль в размерном рассуждении.
Получите аргументированную оценку времени пересыпания песка в песочных часах из верхнего сосуда в нижний (рис.). Используйте реальные данные.
Решение:
Песок течет через отверстие почти равномерно, и поэтому полное время работы песочных часов $T$ пропорционально объему песка, т.е. $H^{3}$. Время $T$ может также зависеть от ускорения свободного падения $g$, диаметра отверстия $d$ и плотности песка $\rho$.
А теперь воспользуемся хорошо известным в физике методом размерностей. Допустим, что величины $T, H, g, d$ и $\rho$ связаны степенной зависимостью:
$T \sim H^{3}g^{ \alpha}d^{ \beta} \rho^{ \gamma}$, или $T = k H^{3}g^{ \alpha} d^{ \beta} \rho^{ \gamma}$.
Здесь $k$ - безразмерный числовой коэффициент, а $\alpha, \beta$ и $|gamma$ -некоторые числа, которые нам надо определить.
Выпишем размерности всех интересующих нас величин в какой-либо одной системе единиц, например в СИ:
$[T] = с , [H] = м , [g] = м \cdot с^{- 2} , [d] = м, [ \rho] = кг \cdot м^{-3}$.
Левая и правая части записанной нами формулы должны, конечно же, иметь одинаковые размерности. Это означает, что должно выполняться равенство
$с = м^{3} \cdot м^{ \alpha} \cdot с^{ - 2 \alpha} \cdot м^{ \beta} \cdot кг^{ \gamma} \cdot м^{ - 3 \gamma}$.
В левой части вообще нет килограммов, поэтому сразу получаем
$\gamma = 0$.
Слева секунды присутствуют в первой степени, а справа - в степени $- 2 \alpha$; следовательно,
$1 = -2 \alpha$, или $\alpha = - \frac{1}{2}$.
Аналогичное равенство запишем для метров:
$0 = 3 + \alpha + \beta - 3 \gamma$,
откуда находим
$\beta = 3 \gamma - \alpha - 3 = 0 + \frac{1}{2} - 3 = - \frac{5}{2}$.
В итоге получаем
$T = kH^{3}g^{-1/2}d^{-5/2}$.
Заметим, что коэффициент пропорциональности $k$ методом размерностей, естественно, определить нельзя. Но если нас интересуют оценки по порядку величины, то $k$ можно считать числом порядка единицы.
Пусть, например, высота $H$ песочных часов составляет несколько сантиметров, а диаметр $d$ порядка миллиметра. Тогда время $T$ оказывается равным нескольким минутам. За это время, скажем, может свариться яйцо для завтрака.
Примечание. В принципе, средний диаметр песчинки мог быть тоже включен в формулу. Однако он намного меньше, чем другие используемые длины, поэтому не может играть существенную роль в размерном рассуждении.
