Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10353
2019-05-11 
Открытый сверху цилиндрический сосуд диаметром $D$ имеет внизу малое отверстие диаметром $d$, закрытое заслонкой. Сосуд устанавливают вертикально и наливают в него воду до высоты $h$ (рис.). Если заслонку удалить, вода начинает вытекать. Спустя некоторое время установления $\tau$ вытекающая вода приобретает скорость $v = \sqrt{2gh}$. Оцените порядок величины $\tau$. Каково ускорение самого нижнего слоя воды в момент, когда удаляют заслонку? Вязкостью воды пренебречь.
Решение:
За малое время $\Delta t$ верхний уровень жидкости с начальным ускорением $a$ понизится на величину $\Delta h = \frac{a \Delta t^{2}}{2}$, а из нижнего отверстия вытечет масса жидкости $\Delta m = \rho \left ( \frac{ \pi D^{2}}{4} \right ) \Delta h$. При этом произойдет уменьшение потенциальной энергии жидкости в целом на $\Delta mgh$ (рис.). Тем временем, вся жидкость ускорится до скорости $v = a \Delta t$, и ее кинетическая энергия увеличится до $\rho h \left ( \frac{ \pi D^{2}}{4} \right ) \frac{v^{2} }{2}$. Скорость вытекшей за это время жидкости больше, чем $v$, но ее кинетической энергией можно пренебречь, поскольку общее количество вовлеченной в движение воды много больше количества вытекшей.
Согласно закону сохранения энергии, изменения потенциальной и кинетической энергий одинаковы, поэтому запишем
$\rho gh \frac{ \pi D^{2} }{4} \frac{a}{2} \Delta t^{2} = \rho h \frac{ \pi D^{2} }{4} \frac{(a \Delta t)^{2} }{2}$,
откуда следует, что
$a = g$.
Это означает, что в первый момент вся вода начинает свободно падать. В соответствии с законом сохранения массы, скорость вытекающей воды в $(D/d)^{2}$ раз выше, чем скорость воды в сосуде. Следовательно, ускорение вытекающей воды должно быть больше $g$ во столько же раз. Например, если $D/d = 10$, то начальное ускорение вытекающей жидкости равно $100g$!
Как долго жидкость будет находиться в свободном падении? Согласно закону Торричелли, скорость истечения равна $\sqrt{2gh}$, а скорость снижения уровня жидкости в сосуде составляет $g \tau$, причем временной интервал $\tau$ между началом истечения и достижения (почти) постоянной скорости воды можно оценить, используя соотношение
$g \tau \approx \left ( \frac{d}{D} \right )^{2} \sqrt{2gh}$.
Если, например, $h = 20 см$, a $d/D = 1/10$, то $\tau \approx 0,002 с$, что является незначительным для большинства экспериментов.
Открытый сверху цилиндрический сосуд диаметром $D$ имеет внизу малое отверстие диаметром $d$, закрытое заслонкой. Сосуд устанавливают вертикально и наливают в него воду до высоты $h$ (рис.). Если заслонку удалить, вода начинает вытекать. Спустя некоторое время установления $\tau$ вытекающая вода приобретает скорость $v = \sqrt{2gh}$. Оцените порядок величины $\tau$. Каково ускорение самого нижнего слоя воды в момент, когда удаляют заслонку? Вязкостью воды пренебречь.
Решение:
За малое время $\Delta t$ верхний уровень жидкости с начальным ускорением $a$ понизится на величину $\Delta h = \frac{a \Delta t^{2}}{2}$, а из нижнего отверстия вытечет масса жидкости $\Delta m = \rho \left ( \frac{ \pi D^{2}}{4} \right ) \Delta h$. При этом произойдет уменьшение потенциальной энергии жидкости в целом на $\Delta mgh$ (рис.). Тем временем, вся жидкость ускорится до скорости $v = a \Delta t$, и ее кинетическая энергия увеличится до $\rho h \left ( \frac{ \pi D^{2}}{4} \right ) \frac{v^{2} }{2}$. Скорость вытекшей за это время жидкости больше, чем $v$, но ее кинетической энергией можно пренебречь, поскольку общее количество вовлеченной в движение воды много больше количества вытекшей.
Согласно закону сохранения энергии, изменения потенциальной и кинетической энергий одинаковы, поэтому запишем
$\rho gh \frac{ \pi D^{2} }{4} \frac{a}{2} \Delta t^{2} = \rho h \frac{ \pi D^{2} }{4} \frac{(a \Delta t)^{2} }{2}$,
откуда следует, что
$a = g$.
Это означает, что в первый момент вся вода начинает свободно падать. В соответствии с законом сохранения массы, скорость вытекающей воды в $(D/d)^{2}$ раз выше, чем скорость воды в сосуде. Следовательно, ускорение вытекающей воды должно быть больше $g$ во столько же раз. Например, если $D/d = 10$, то начальное ускорение вытекающей жидкости равно $100g$!
Как долго жидкость будет находиться в свободном падении? Согласно закону Торричелли, скорость истечения равна $\sqrt{2gh}$, а скорость снижения уровня жидкости в сосуде составляет $g \tau$, причем временной интервал $\tau$ между началом истечения и достижения (почти) постоянной скорости воды можно оценить, используя соотношение
$g \tau \approx \left ( \frac{d}{D} \right )^{2} \sqrt{2gh}$.
Если, например, $h = 20 см$, a $d/D = 1/10$, то $\tau \approx 0,002 с$, что является незначительным для большинства экспериментов.
