Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10352
2019-05-11 
Струя воды падает под углом ос к вертикали на горизонтальный желоб полукруглого сечения (рис.). Струя и ось желоба находятся в одной вертикальной плоскости. Как зависит отношение масс воды, вытекающей из двух концов желоба, от угла падения струи?
Решение:
Пусть $S$ - поперечное сечение поступающей водной струи, $v$ - ее скорость, $\rho$ - плотность воды. Тогда масса воды, затекающей в желоб за единицу времени, равна $\rho Sv$. Это количество воды имеет кинетическую энергию $\rho S v^{3}/2$ и горизонтальный импульс $\rho Sv^{2} \sin \alpha$. Эти величины не могут изменяться, если пренебречь вязкостью воды, поэтому запишем
$\frac{ \rho Sv^{3} }{2} = \frac{ \rho S_{1}v_{1}^{3} }{2} + \frac{ \rho S_{2}v_{2}^{3} }{2}$,
$\rho Sv^{2} \sin \alpha = \rho S_{1}v_{1}^{2} - \rho S_{2}v_{2}^{2}$,
где $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади поперечного сечения воды, вытекающей из желоба направо и налево, $v_{1}$ и $v_{2}$ - соответствующие скорости. Необходимо также учесть закон сохранения массы:
$\rho Sv = \rho S_{1}v_{1} + \rho S_{2}v_{2}$.
Чтобы определить четыре неизвестные величины (две площади поперечного сечения и две скорости), трех уравнений недостаточно; необходимо найти еще одно уравнение. Согласно закону Бернулли, величина $\frac{ \rho v^{2}}{2} + p + \rho gh$ постоянна вдоль потока невязкой жидкости. Внутри жидкости и далеко от начальной точки столкновения давление постоянно и равно атмосферному давлению. Если разностью в высотах потоков, или, более точно, изменением в потенциальной энергии, пренебречь (это справедливо для быстро текущей жидкости), то, в соответствии с уравнением Бернулли, получим равенство
$v = v_{1} = v_{2}$.
Это означает, что жидкость покидает желоб с той же самой скоростью на обоих концах! Это удивительно, но правильно (в пределах точности вышеупомянутого приближения).
Теперь уравнения сохранения массы и импульса приобретают вид
$S = S_{1} + S_{2}, S \sin \alpha = S_{1} - S_{2}$,
которые приводят к соотношению
$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}$.
Полученное отношение, верное и для отношения масс воды, можно исследовать экспериментально и убедиться в удивительно хорошем согласии с найденными расчетными значениями. Это говорит о том, что сделанные приближения были разумны.
Струя воды падает под углом ос к вертикали на горизонтальный желоб полукруглого сечения (рис.). Струя и ось желоба находятся в одной вертикальной плоскости. Как зависит отношение масс воды, вытекающей из двух концов желоба, от угла падения струи?
Решение:
Пусть $S$ - поперечное сечение поступающей водной струи, $v$ - ее скорость, $\rho$ - плотность воды. Тогда масса воды, затекающей в желоб за единицу времени, равна $\rho Sv$. Это количество воды имеет кинетическую энергию $\rho S v^{3}/2$ и горизонтальный импульс $\rho Sv^{2} \sin \alpha$. Эти величины не могут изменяться, если пренебречь вязкостью воды, поэтому запишем
$\frac{ \rho Sv^{3} }{2} = \frac{ \rho S_{1}v_{1}^{3} }{2} + \frac{ \rho S_{2}v_{2}^{3} }{2}$,
$\rho Sv^{2} \sin \alpha = \rho S_{1}v_{1}^{2} - \rho S_{2}v_{2}^{2}$,
где $S_{1}$ и $S_{2}$ - площади поперечного сечения воды, вытекающей из желоба направо и налево, $v_{1}$ и $v_{2}$ - соответствующие скорости. Необходимо также учесть закон сохранения массы:
$\rho Sv = \rho S_{1}v_{1} + \rho S_{2}v_{2}$.
Чтобы определить четыре неизвестные величины (две площади поперечного сечения и две скорости), трех уравнений недостаточно; необходимо найти еще одно уравнение. Согласно закону Бернулли, величина $\frac{ \rho v^{2}}{2} + p + \rho gh$ постоянна вдоль потока невязкой жидкости. Внутри жидкости и далеко от начальной точки столкновения давление постоянно и равно атмосферному давлению. Если разностью в высотах потоков, или, более точно, изменением в потенциальной энергии, пренебречь (это справедливо для быстро текущей жидкости), то, в соответствии с уравнением Бернулли, получим равенство
$v = v_{1} = v_{2}$.
Это означает, что жидкость покидает желоб с той же самой скоростью на обоих концах! Это удивительно, но правильно (в пределах точности вышеупомянутого приближения).
Теперь уравнения сохранения массы и импульса приобретают вид
$S = S_{1} + S_{2}, S \sin \alpha = S_{1} - S_{2}$,
которые приводят к соотношению
$\frac{S_{1} }{S_{2} } = \frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}$.
Полученное отношение, верное и для отношения масс воды, можно исследовать экспериментально и убедиться в удивительно хорошем согласии с найденными расчетными значениями. Это говорит о том, что сделанные приближения были разумны.
