Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10350
2019-05-11 
Много бусинок с одинаковыми массами находятся в покое на длинном горизонтальном стержне. Расстояния между любыми соседними бусинками одинаковы. Бусинки могут двигаться без трения. На левую бусинку начинает действовать постоянная, горизонтальная, направленная вправо сила $F$. Каковы скорости левой бусинки и фронта «ударной волны», которая будет распространяться спустя некоторое время, если удары считать:
а) абсолютно неупругими;
б) абсолютно упругими?
Решение:
а) Удар неупругий. Пусть $v_{0}$ - общая скорость бусинок, $d$ - первоначальное расстояние между бусинками и $m$ - масса одной бусинки. За интервал времени $\Delta t$ в движение вовлекается группа бусинок в количестве $v_{0} \Delta t/d$, которая имеет массу $\Delta m = mv_{0} \Delta t/d$ и импульс $\Delta p = \Delta mv_{0} = mv_{0}^{2} \Delta t/d$. Согласно второму закону Ньютона,
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{mv_{0}^{2} }{d}$.
Отсюда получаем значение окончательной скорости $v_{0}$ в случае неупругих столкновении:
$v_{0} = \sqrt{ \frac{Fd}{m}}$.
б) При упругом столкновении между двумя телами с одинаковыми массами тела обмениваются скоростями. В частности, если одно из тел вначале покоилось, то после удара первоначально перемещающееся тело останавливается, в то время как второе откатывается с той же самой скоростью, которой первоначально обладало первое.
Крайняя слева бусинка под действием внешней силы $F$ равномерно ускоряется и, перед тем как случается первое столкновение, достигает скорости $v_{1} = \sqrt{2Fd/m} = \sqrt{2}v_{0}$. При ударе она передает свою скорость второй бусинке и останавливается, после чего начинает ускоряться снова вследствие действия внешней силы.
Что происходит со второй бусинкой? Она движется с постоянной скоростью $v_{1}$, сталкивается с третьей бусинкой и останавливается. Третья и последующие бусинки ведут себя точно так же, и «ударная волна» распространяется вперед со скоростью $v_{1}$. Тем временем, крайняя слева бусинка снова ускоряется до скорости $v_{1}$, сталкивается со второй бусинкой, которая находится теперь в покое, и процесс повторяется, начиная, таким образом, новую «ударную волну». Скорость ускоренной бусинки изменяется равномерно от нуля до $v_{1}$, поэтому ее среднее значение равно
$\frac{v_{1} }{2} = \frac{v_{0} }{ \sqrt{2} } = \sqrt{ \frac{Fd}{2m} }$.
Примечание. Также интересен случай частично упругих столкновений. В этом случае (согласно результатам моделирования на компьютере) можно сказать, что рано или поздно взаимодействующие бусинки собираются в отдельную группу, которая ведет себя подобно совершенно неупругому телу, двигаясь с конечной скоростью $v_{0} = \sqrt{Fd/m}. Время, необходимое для того, чтобы группа собралась, зависит от степени упругости (коэффициента восстановления). Чем более упруги элементарные столкновения, тем больше требуется времени для образования неупругой группы.
Много бусинок с одинаковыми массами находятся в покое на длинном горизонтальном стержне. Расстояния между любыми соседними бусинками одинаковы. Бусинки могут двигаться без трения. На левую бусинку начинает действовать постоянная, горизонтальная, направленная вправо сила $F$. Каковы скорости левой бусинки и фронта «ударной волны», которая будет распространяться спустя некоторое время, если удары считать:
а) абсолютно неупругими;
б) абсолютно упругими?
Решение:
а) Удар неупругий. Пусть $v_{0}$ - общая скорость бусинок, $d$ - первоначальное расстояние между бусинками и $m$ - масса одной бусинки. За интервал времени $\Delta t$ в движение вовлекается группа бусинок в количестве $v_{0} \Delta t/d$, которая имеет массу $\Delta m = mv_{0} \Delta t/d$ и импульс $\Delta p = \Delta mv_{0} = mv_{0}^{2} \Delta t/d$. Согласно второму закону Ньютона,
$F = \frac{ \Delta p}{ \Delta t} = \frac{mv_{0}^{2} }{d}$.
Отсюда получаем значение окончательной скорости $v_{0}$ в случае неупругих столкновении:
$v_{0} = \sqrt{ \frac{Fd}{m}}$.
б) При упругом столкновении между двумя телами с одинаковыми массами тела обмениваются скоростями. В частности, если одно из тел вначале покоилось, то после удара первоначально перемещающееся тело останавливается, в то время как второе откатывается с той же самой скоростью, которой первоначально обладало первое.
Крайняя слева бусинка под действием внешней силы $F$ равномерно ускоряется и, перед тем как случается первое столкновение, достигает скорости $v_{1} = \sqrt{2Fd/m} = \sqrt{2}v_{0}$. При ударе она передает свою скорость второй бусинке и останавливается, после чего начинает ускоряться снова вследствие действия внешней силы.
Что происходит со второй бусинкой? Она движется с постоянной скоростью $v_{1}$, сталкивается с третьей бусинкой и останавливается. Третья и последующие бусинки ведут себя точно так же, и «ударная волна» распространяется вперед со скоростью $v_{1}$. Тем временем, крайняя слева бусинка снова ускоряется до скорости $v_{1}$, сталкивается со второй бусинкой, которая находится теперь в покое, и процесс повторяется, начиная, таким образом, новую «ударную волну». Скорость ускоренной бусинки изменяется равномерно от нуля до $v_{1}$, поэтому ее среднее значение равно
$\frac{v_{1} }{2} = \frac{v_{0} }{ \sqrt{2} } = \sqrt{ \frac{Fd}{2m} }$.
Примечание. Также интересен случай частично упругих столкновений. В этом случае (согласно результатам моделирования на компьютере) можно сказать, что рано или поздно взаимодействующие бусинки собираются в отдельную группу, которая ведет себя подобно совершенно неупругому телу, двигаясь с конечной скоростью $v_{0} = \sqrt{Fd/m}. Время, необходимое для того, чтобы группа собралась, зависит от степени упругости (коэффициента восстановления). Чем более упруги элементарные столкновения, тем больше требуется времени для образования неупругой группы.
