Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1035
2016-09-18 
На горизонтальном столе некоторая прямая линия разделяет две области: по одну сторону от этой линии стол гладкий, а по другую — шероховатый. На столе лежит однородная доска длиной $L = 1 м$. Она расположена перпендикулярно линии и целиком находится на гладкой поверхности. К концу доски прикреплён один конец невесомой пружины, имеющей жёсткость $k = 4 Н/м$. Другой конец пружины начинают медленно тянуть в горизонтальном направлении вдоль доски так, что она перемещается через линию в сторону шероховатой поверхности. Для того, чтобы полностью перетащить доску на шероховатую поверхность, нужно совершить минимальную работу $A = 17,5 Дж$. Найдите, какое при этом выделится количество теплоты. Пружина не касается шероховатой поверхности, коэффициент трения доски об эту поверхность — постоянная величина.
Решение:
Поскольку в условии задана минимальная работа $A$, то можно считать, что доску перетаскивают через линию медленно, и её кинетическая энергия равна нулю. При этом работа, которую нужно совершить для перетаскивания доски на шероховатую поверхность, частично переходит в тепло (обозначим его $Q$), а частично — в потенциальную энергию $U$ пружины, которая к концу процесса перетаскивания оказывается деформированной. Обозначим массу доски через $m$, коэффициент трения доски о шероховатую поверхность — через $\mu$. Тогда в момент, когда на шероховатой поверхности оказалась часть однородной доски длиной $x$, на неё действует сила трения
$F_{тр}(x) = \mu \Delta mg = \mu g \frac{m}{L} x$,
где $ \Delta m = \frac{m}{L}x$ — масса части доски, перетащенной через линию. Видно, что сила трения возрастает пропорционально величине $x$, которая при перетаскивании меняется от 0 до $L$. Работа силы трения на малом участке пути $\Delta x$ равна
$F_{тр}(x) \Delta x = \frac{ \mu mg}{L} x \Delta x = \frac{ \mu mg}{L} \Delta \left ( \frac{x^{2}}{2} \right )$.
Суммарная работа силы трения по абсолютной величине равна искомому количеству теплоты: $|A_{тр}| = Q = \frac{ \mu mg}{L} \cdot \frac{L^{2}}{2} = \frac{ \mu mgL}{2}$. Этот результат можно получить несколькими способами: по аналогии с формулой для потенциальной энергии, запасённой в растянутой пружине (сила также пропорциональна смещению); графически, вычисляя работу силы трения, как площадь под графиком зависимости ^тр(х); наконец, непосредственно, путём интегрирования.
Когда вся доска окажется на шероховатой поверхности, пружина будет растянута на некоторую величину $l$. При этом сила натяжения пружины будет равна силе трения, действующей со стороны поверхности на всю доску: $kl = \mu mg$. Отсюда $l = \mu mg k$. Потенциальная энергия, запасённая к этому моменту в пружине, будет равна
$U = \frac{kl^{2}}{2} = \frac{( \mu mg)^{2}}{2k} = \frac{2Q^{2}}{kL^{2}}$.
Таким образом, можно записать:
$A = Q + U = Q + \frac{2Q^{2}}{kL^{2}}$ или $\frac{2}{kL^{2}} Q^{2} + Q - A = 0$.
Решая полученное квадратное уравнение, найдём $Q$:
$Q = \frac{kL^{2}}{4} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{8A}{kL^{2}}} - 1 \right ) = 5Дж$.
Оставшиеся $U = A — Q = 12,5 Дж$ запасаются в виде потенциальной энергии в растянутой пружине.
На горизонтальном столе некоторая прямая линия разделяет две области: по одну сторону от этой линии стол гладкий, а по другую — шероховатый. На столе лежит однородная доска длиной $L = 1 м$. Она расположена перпендикулярно линии и целиком находится на гладкой поверхности. К концу доски прикреплён один конец невесомой пружины, имеющей жёсткость $k = 4 Н/м$. Другой конец пружины начинают медленно тянуть в горизонтальном направлении вдоль доски так, что она перемещается через линию в сторону шероховатой поверхности. Для того, чтобы полностью перетащить доску на шероховатую поверхность, нужно совершить минимальную работу $A = 17,5 Дж$. Найдите, какое при этом выделится количество теплоты. Пружина не касается шероховатой поверхности, коэффициент трения доски об эту поверхность — постоянная величина.
Решение:
Поскольку в условии задана минимальная работа $A$, то можно считать, что доску перетаскивают через линию медленно, и её кинетическая энергия равна нулю. При этом работа, которую нужно совершить для перетаскивания доски на шероховатую поверхность, частично переходит в тепло (обозначим его $Q$), а частично — в потенциальную энергию $U$ пружины, которая к концу процесса перетаскивания оказывается деформированной. Обозначим массу доски через $m$, коэффициент трения доски о шероховатую поверхность — через $\mu$. Тогда в момент, когда на шероховатой поверхности оказалась часть однородной доски длиной $x$, на неё действует сила трения
$F_{тр}(x) = \mu \Delta mg = \mu g \frac{m}{L} x$,
где $ \Delta m = \frac{m}{L}x$ — масса части доски, перетащенной через линию. Видно, что сила трения возрастает пропорционально величине $x$, которая при перетаскивании меняется от 0 до $L$. Работа силы трения на малом участке пути $\Delta x$ равна
$F_{тр}(x) \Delta x = \frac{ \mu mg}{L} x \Delta x = \frac{ \mu mg}{L} \Delta \left ( \frac{x^{2}}{2} \right )$.
Суммарная работа силы трения по абсолютной величине равна искомому количеству теплоты: $|A_{тр}| = Q = \frac{ \mu mg}{L} \cdot \frac{L^{2}}{2} = \frac{ \mu mgL}{2}$. Этот результат можно получить несколькими способами: по аналогии с формулой для потенциальной энергии, запасённой в растянутой пружине (сила также пропорциональна смещению); графически, вычисляя работу силы трения, как площадь под графиком зависимости ^тр(х); наконец, непосредственно, путём интегрирования.
Когда вся доска окажется на шероховатой поверхности, пружина будет растянута на некоторую величину $l$. При этом сила натяжения пружины будет равна силе трения, действующей со стороны поверхности на всю доску: $kl = \mu mg$. Отсюда $l = \mu mg k$. Потенциальная энергия, запасённая к этому моменту в пружине, будет равна
$U = \frac{kl^{2}}{2} = \frac{( \mu mg)^{2}}{2k} = \frac{2Q^{2}}{kL^{2}}$.
Таким образом, можно записать:
$A = Q + U = Q + \frac{2Q^{2}}{kL^{2}}$ или $\frac{2}{kL^{2}} Q^{2} + Q - A = 0$.
Решая полученное квадратное уравнение, найдём $Q$:
$Q = \frac{kL^{2}}{4} \left ( \sqrt{ 1 + \frac{8A}{kL^{2}}} - 1 \right ) = 5Дж$.
Оставшиеся $U = A — Q = 12,5 Дж$ запасаются в виде потенциальной энергии в растянутой пружине.
