Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10349
2019-05-11 
Две маленькие бусинки могут скользить без трения по длинным параллельным горизонтальным стержням, расстояние между которыми $d$ (рис.). Бусинки имеют массы $m$ и $M$ и электрические заряды $q$ и $Q$ соответственно. Сначала бусинка массой $M$ покоится, а другая, находясь далеко от первой, начинает приближаться к ней со скоростью $v_{0}$. Опишите последующее движение бусинок.
Решение:
За положительное направление принимаем движение вправо и рассматриваем движение в системе координат центра масс бусинок (рис.). Так как их центр масс ЦМ находится в покое, то в выбранной системе координат отношение скоростей бусинок остается постоянным (равным $M/m$) в течение всего движения. Поэтому можно записать
$v_{m} = \frac{M}{M + m}v_{0}, v_{M} = \frac{m}{M + m} v_{0}$.
По мере того как бусинки приближаются друг к другу, их скорости уменьшаются, если заряды $q$ и $Q$ одного знака, и увеличиваются, если их заряды противоположны по знаку. В последнем случае, если расстояние $d$ достаточно велико, их скорости вернутся к своим начальным значениям, так как потерь энергии нет. В неподвижной системе отсчета после временного ускорения тело массой $m$ начинает замедляться, пока его скорость не достигнет первоначального значения $v_{0}$, а тело массой $M$ будет иметь нулевую скорость, но сдвинется влево на некоторое расстояние.
Если бусинки отталкиваются друг от друга, то требуется более детальное рассуждение. При достаточно большой начальной энергии бусинки проходят мимо друг друга и расходятся, причем их скорости возвращаются к своим первоначальным значениям. С другой стороны, если их начальная кинетическая энергия слишком мала для того, чтобы они сблизились до расстояния $d$, то они «поворачивают обратно». В системе центра масс тело массой $m$ перемещается влево со скоростью $- v_{m}$, а тело массой $M$ двигается вправо со скоростью $v_{M}$ (рис.). Это произойдет, если выполнится условие
$\frac{mv_{m}^{2} }{2} + \frac{Mv_{M}^{2} }{2} < \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qQ}{d}$,
или
$\frac{Mm}{M + m} \frac{v_{0}^{2} }{2} < \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qQ}{d}$.
Величина $Mm/(M + m)$ называется приведенной массой системы. Скорости $v_{m}^{*}$ и $v_{M}^{*}$ тел в неподвижной (лабораторной) системе координат получаются при добавлении скорости системы центра масс к относительным скоростям каждой бусинки. Поэтому имеем
$v_{m}^{*} = \frac{m - M}{M + m} v_{0}, v_{M}^{*} = \frac{2M}{M + m}v_{0}$.
В случае малой начальной кинетической энергии, когда эти бусинкам сближаются до расстояния $d$, они останавливаются относительно друг друга (рис.), но в лабораторной системе координат они продолжают движение с общей скоростью
$v_{m}^{*} = v_{M} = \frac{mv_{0} }{M + m}$
Примечание. Три случая, обсужденные выше, моделируют одномерные механические столкновения. Случай ограничения, когда два тела приближаются друг к другу, моделирует неупругое столкновение. При этом только механический импульс остается постоянным, механическая же энергия уменьшается. Скорости в случае, в котором тела приближаются друг к другу и затем снова удаляются, - те же самые, что были вычислены с помощью законов упругих столкновений (сохранение энергии и импульса). Движение, в котором тела проходят друг через друга (в сущности, они не сталкиваются и сохраняют свои первоначальные скорости), - очевидно в соответствии с законами сохранения. Однако решение, описывающее этот случай, обычно не используется для механических столкновений, так как тела не могут проходить друг через друга.
Две маленькие бусинки могут скользить без трения по длинным параллельным горизонтальным стержням, расстояние между которыми $d$ (рис.). Бусинки имеют массы $m$ и $M$ и электрические заряды $q$ и $Q$ соответственно. Сначала бусинка массой $M$ покоится, а другая, находясь далеко от первой, начинает приближаться к ней со скоростью $v_{0}$. Опишите последующее движение бусинок.
Решение:
За положительное направление принимаем движение вправо и рассматриваем движение в системе координат центра масс бусинок (рис.). Так как их центр масс ЦМ находится в покое, то в выбранной системе координат отношение скоростей бусинок остается постоянным (равным $M/m$) в течение всего движения. Поэтому можно записать
$v_{m} = \frac{M}{M + m}v_{0}, v_{M} = \frac{m}{M + m} v_{0}$.
По мере того как бусинки приближаются друг к другу, их скорости уменьшаются, если заряды $q$ и $Q$ одного знака, и увеличиваются, если их заряды противоположны по знаку. В последнем случае, если расстояние $d$ достаточно велико, их скорости вернутся к своим начальным значениям, так как потерь энергии нет. В неподвижной системе отсчета после временного ускорения тело массой $m$ начинает замедляться, пока его скорость не достигнет первоначального значения $v_{0}$, а тело массой $M$ будет иметь нулевую скорость, но сдвинется влево на некоторое расстояние.
Если бусинки отталкиваются друг от друга, то требуется более детальное рассуждение. При достаточно большой начальной энергии бусинки проходят мимо друг друга и расходятся, причем их скорости возвращаются к своим первоначальным значениям. С другой стороны, если их начальная кинетическая энергия слишком мала для того, чтобы они сблизились до расстояния $d$, то они «поворачивают обратно». В системе центра масс тело массой $m$ перемещается влево со скоростью $- v_{m}$, а тело массой $M$ двигается вправо со скоростью $v_{M}$ (рис.). Это произойдет, если выполнится условие
$\frac{mv_{m}^{2} }{2} + \frac{Mv_{M}^{2} }{2} < \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qQ}{d}$,
или
$\frac{Mm}{M + m} \frac{v_{0}^{2} }{2} < \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{qQ}{d}$.
Величина $Mm/(M + m)$ называется приведенной массой системы. Скорости $v_{m}^{*}$ и $v_{M}^{*}$ тел в неподвижной (лабораторной) системе координат получаются при добавлении скорости системы центра масс к относительным скоростям каждой бусинки. Поэтому имеем
$v_{m}^{*} = \frac{m - M}{M + m} v_{0}, v_{M}^{*} = \frac{2M}{M + m}v_{0}$.
В случае малой начальной кинетической энергии, когда эти бусинкам сближаются до расстояния $d$, они останавливаются относительно друг друга (рис.), но в лабораторной системе координат они продолжают движение с общей скоростью
$v_{m}^{*} = v_{M} = \frac{mv_{0} }{M + m}$
Примечание. Три случая, обсужденные выше, моделируют одномерные механические столкновения. Случай ограничения, когда два тела приближаются друг к другу, моделирует неупругое столкновение. При этом только механический импульс остается постоянным, механическая же энергия уменьшается. Скорости в случае, в котором тела приближаются друг к другу и затем снова удаляются, - те же самые, что были вычислены с помощью законов упругих столкновений (сохранение энергии и импульса). Движение, в котором тела проходят друг через друга (в сущности, они не сталкиваются и сохраняют свои первоначальные скорости), - очевидно в соответствии с законами сохранения. Однако решение, описывающее этот случай, обычно не используется для механических столкновений, так как тела не могут проходить друг через друга.
