Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10347
2019-05-11 
Однородная треугольная пластина массой $M$ подвешена в одной точке на трех тонких нитях длиной $h_{1}, h_{2}$ и $h_{3}$, закрепленных в ее вершинах (рис.). Чему равно натяжение каждой нити, выраженное в зависимости от длин нитей и массы пластины?
Решение:
Очевидно, что центр масс S треугольной пластины должен находиться ниже точки подвешивания. Обозначим векторы, указывающие от центра масс S до вершин треугольника, через $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ и $\vec{r}_{3}$, до точки подвешивания - через $\vec{m}$, а вектор силы тяжести - через $M \vec{g}$ (рис.). Силы $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$, благодаря которым нити удерживают пластину, можно записать в виде
$\vec{F}_{i} = \lambda_{i} ( \vec{m} - \vec{r}_{i} )$, где $i = 1, 2, 3$.
Так как пластина находится в равновесии, векторная сумма сил, действующих на нее, равна нулю:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} + M \vec{g} = 0$.
При использовании того факта, что вектор, указывающий на центр масс треугольника (начало векторной системы координат), является средним арифметическим векторов, указывающих на его вершины, мы получаем
$\vec{r}_{1} + \vec{r}_{2} + \vec{r}_{3} = 0$.
Так как векторы $M \vec{g}$ и $\vec{m}$ лежат на одной прямой, то можно записать $M \vec{g} = - k \vec{m}$. Тогда из приведенных уравнений получаем
$( \lambda_{3} - \lambda_{1} ) \vec{r}_{1} + ( \lambda_{3} - \lambda_{2}) \vec{r}_{2} + ( \lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} - k) \vec{m} = 0$.
Поскольку векторы $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ и $\vec{m}$ не находятся в одной плоскости, линейная комбинация их может быть нулевой только тогда, когда коэффициенты при каждом векторе равны нулю. Таким образом, $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3}$, откуда следует, что напряжения в нитях пропорциональны их длинам.
Этот вывод стал бы необоснованным, если бы одна из нитей была ненатянута, так как плоскость пластины тогда стала бы вертикальной и вектор т лежал бы в этой плоскости.
Однородная треугольная пластина массой $M$ подвешена в одной точке на трех тонких нитях длиной $h_{1}, h_{2}$ и $h_{3}$, закрепленных в ее вершинах (рис.). Чему равно натяжение каждой нити, выраженное в зависимости от длин нитей и массы пластины?
Решение:
Очевидно, что центр масс S треугольной пластины должен находиться ниже точки подвешивания. Обозначим векторы, указывающие от центра масс S до вершин треугольника, через $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ и $\vec{r}_{3}$, до точки подвешивания - через $\vec{m}$, а вектор силы тяжести - через $M \vec{g}$ (рис.). Силы $\vec{F}_{1}, \vec{F}_{2}$ и $\vec{F}_{3}$, благодаря которым нити удерживают пластину, можно записать в виде
$\vec{F}_{i} = \lambda_{i} ( \vec{m} - \vec{r}_{i} )$, где $i = 1, 2, 3$.
Так как пластина находится в равновесии, векторная сумма сил, действующих на нее, равна нулю:
$\vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} + \vec{F}_{3} + M \vec{g} = 0$.
При использовании того факта, что вектор, указывающий на центр масс треугольника (начало векторной системы координат), является средним арифметическим векторов, указывающих на его вершины, мы получаем
$\vec{r}_{1} + \vec{r}_{2} + \vec{r}_{3} = 0$.
Так как векторы $M \vec{g}$ и $\vec{m}$ лежат на одной прямой, то можно записать $M \vec{g} = - k \vec{m}$. Тогда из приведенных уравнений получаем
$( \lambda_{3} - \lambda_{1} ) \vec{r}_{1} + ( \lambda_{3} - \lambda_{2}) \vec{r}_{2} + ( \lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3} - k) \vec{m} = 0$.
Поскольку векторы $\vec{r}_{1}, \vec{r}_{2}$ и $\vec{m}$ не находятся в одной плоскости, линейная комбинация их может быть нулевой только тогда, когда коэффициенты при каждом векторе равны нулю. Таким образом, $\lambda_{1} = \lambda_{2} = \lambda_{3}$, откуда следует, что напряжения в нитях пропорциональны их длинам.
Этот вывод стал бы необоснованным, если бы одна из нитей была ненатянута, так как плоскость пластины тогда стала бы вертикальной и вектор т лежал бы в этой плоскости.
