Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10339
2019-05-11 
Карандаш удерживают на столе в вертикальном положении заостренным концом вниз. После того как его отпустили, он начинает падать (рис.). Как движется при этом острие карандаша в зависимости от коэффициента трения? Оторвется ли острие карандаша от стола (в отличие от случая, когда в результате скольжения место заточки карандаша в конце концов соприкоснется со столом)?
Решение:
Предположим сначала, что поверхность стола является очень гладкой (коэффициент трения очень маленький). После того как карандаш выпустили, его центр масс ускоряется в направлении падения и приобретает горизонтальную и вертикальную скорости. Горизонтальная составляющая ускорения центра масс появляется за счет хоть и малой, но все-таки имеющейся силы трения между острием карандаша и столом. Поэтому вскоре кончик карандаша начинает скользить влево, «толкая» центр масс вправо.
Если трение очень большое, то в течение относительно долгого времени кончик карандаша остается на месте, а центр масс движется по окружности с центром в месте контакта. При этом горизонтальная составляющая скорости центра масс сначала увеличивается в направлении падения, а потом (после $45^{ \circ}$ ) начинает уменьшаться и может достичь нуля, если кончик карандаша не потерял контакта со столом (например, приклеен) при горизонтальном положении. Знак горизонтального ускорения центра масс, таким образом, так же, как и знак силы трения, изменяется в течение движения. Если карандаш не скользит в течение первой стадии, то он может только скользить вперед, т.е. в направлении падения.
Впоследствии мы собираемся доказать, что кончик карандаша никогда не теряет контакта со столом, как бы он ни скользил. Ради математической простоты будем использовать единичные значения силы тяжести, длины карандаша, и гравитационного ускорения. Таким образом, расстояние центра масс (ЦМ) карандаша равно 1/2 от любого конца, момент инерции карандаша относительно его ЦМ равен 1/12, а относительно одного из его концов он равен 1/3.
В течение первой стадии движения кончик карандаша не скользит, и карандаш вращается относительно своего острия (рис.). Мы можем найти угловую скорость карандаша на основе закона сохранения энергии:
$\frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} \frac{1}{3} \omega^{2}$,
откуда для угловой скорости получаем
$\omega = \sqrt{3(1 - \cos \theta)}$.
Так как мгновенный крутящий момент равен $\sin \theta/2$, угловое ускорение а карандаша определяется по формуле
$\alpha = \frac{3}{2} \sin \theta$.
Имеются две силы, действующие вертикально на карандаш: его сила тяжести, равная 1, и нормальная составляющая силы реакции стола $N$. Вертикальная составляющая центростремительного ускорения ЦМ равна $\frac{ \omega^{2} \cos \theta}{2}$, а вертикальная составляющая тангенциального ускорения равна $\frac{ \alpha \sin \theta}{2}$. Таким образом, в вертикальном направлении уравнение движения ЦМ записывается в виде
$1 - N = \frac{1}{2} \alpha \sin \theta + \frac{1}{2} \omega^{2} \cos \theta$,
откуда получаем
$N = \left ( \frac{3 \cos \theta - 1 }{2} \right )^{2}$.
Кажется, что сила реакции никогда не может стать отрицательной и поэтому острие карандаша не может потерять контакт со столом в течение всей вращательной фазы движения. Нормальная сила реакции равна нулю, когда $\theta = arccos \left ( \frac{1}{3} \right ) \approx 70,5^{ \circ}$. Это означает, что сила трения при этом тоже равна нулю, и карандаш будет скользить, если он не скользил прежде.
Запишем теперь уравнение движения ЦМ по горизонтали:
$F = \frac{1}{2} \alpha \cos \theta - \frac{1}{2} \omega^{2} \sin \theta$,
где $F$ - сила трения. Подставляя сюда выражения углового ускорения $\alpha$ и угловой скорости $\omega$, получаем
$F = \frac{3}{4} \sin \theta (3 \cos \theta - 2)$.
Условие скольжения выглядит так: $|F| > \mu N$, где $\mu$ - коэффициент (статического) трения. Мы можем переформулировать это условие с помощью функции $f ( \theta)$, которая выражается через абсолютное значение отношения сил $F/N$:
$f( \theta) = \left | \frac{F}{N} \right | = \left | 3 \sin \theta \frac{3 \cos \theta - 2}{(3 \cos \theta - 1)^{2} } \right | > \mu$.
Функция $f( \theta)$ изображена на рисунке.
Сила трения изменяет знак, когда угол $\theta$ становится равным
$\theta = arccos \frac{2}{3} \approx 48^{ \circ}$.
Это означает, что скольжение назад может происходить в области $0 < \theta < 48^{ \circ}$. При> использовании числовых методов нетрудно показать, что в этой области $f( \theta)$ имеет максимальное значение $\mu_{крит} \approx 0,37$ при $\theta \approx 35^{ \circ}$. Следовательно, карандаш скользит назад, если $\mu < \mu_{крит}$. Если же $\mu > \mu_{крит}$, то острие скользит вперед до тех пор, пока угол не достигнет величины $\theta \approx 70,5^{ \circ}$, при котором $f( \theta)$ стремится к бесконечности. (Обратите внимание на то, что карандаш не может начать скользить в диапазоне $35^{ \circ} < \theta < 51^{ \circ}$.)
Движения кончика карандаша назад и вперед показаны на рисунке. В обоих случаях скользящая точка карандаша может опять остановиться.
Наконец, покажем, что острие карандаша никогда не теряет контакта со столом. Рассмотрим сначала случай скольжения вперед, показанный на рисунке. Используя теорему косинусов для (векторных) треугольников, запишем уравнение, выражающее закон сохранения энергии:
$\frac{1 - \cos \theta}{2} = A_{тр} + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{12} \omega^{2} + \left ( \frac{ \omega}{2} \right )^{2} + v_{0}^{2} + 2v_{0} \frac{1}{2} \omega \cos \theta \right )$.
Если мы пренебрегаем работой трения $A_{тр}$ и двумя членами, содержащими скорость $v_{0}$ острия карандаша (все три члена положительны), то для угловой скорости мы получаем также неравенство:
$\omega^{2} < 3(1 - \cos \theta)$.
Уравнение мгновенного крутящего момента относительно ЦМ дает
$N \frac{ \sin \theta + \mu \cos \theta}{2} = \frac{ \alpha}{12}$,
а уравнение движения для вертикального направления записывается в виде
$1 - N = \frac{1}{2} \alpha \sin \theta + \frac{1}{2} \omega^{2} \cos \theta$,
т.е. имеет точно такой же вид, как и раньше для случая, в котором нет скольжения. Причина этому та, что острие карандаша имеет только горизонтальное ускорение, и, таким образом, вертикальная составляющая ускорения ЦМ остается неизменной (рис.).
Из двух уравнений, приведенных выше, мы можем выразить нормальную силу $N$ как функцию $\theta$ и $\omega^{2}$. С учетом неравенства
для $\omega^{2}$ получаем неравенство для $N$:
$N = \frac{1 - \frac{ \omega^{2} \cos \theta }{2} }{1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta + \mu \cos \theta ) } > \frac{ \frac{3}{2} \left ( \cos \theta - \frac{1}{2} \right )^{2} + \frac{5}{8} }{1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta + \mu \cos \theta ) } > 0$.
Таким образом, нормальная сила реакции всегда положительна, а значит, кончик карандаша не теряет контакта со столом.
Для случая, в котором скольжение направлено назад, метод рассуждений аналогичный. На рисунке показаны горизонтальная и вертикальная составляющие скорости ЦМ ($v_{x}$ и $v_{y}$ соответственно). Так как острие карандаша имеет нулевую вертикальную скорость, то между $v_{y}$ и $\omega$ имеется такая связь: $v_{y} = \frac{ \omega \sin \theta}{2}$. Мы можем снова использовать закон сохранения энергии:
$\frac{1 - \cos \theta}{2} = A_{тр} + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{12} \omega^{2} + v_{x}^{2} + v_{y}^{2} \right )$.
В этом уравнении мы опять пренебрегаем работой $A_{тр}$ против сил трения и другим положительным членом, содержащим $v_{x}$, и получаем
$\omega^{2} < \frac{1 - \cos \theta}{ \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \sin^{2} \theta }$.
Рассматривая снова полный крутящий момент относительно ЦМ и уравнение движения для вертикальной составляющей, получаем для нормальной силы реакции $N$ неравенство
$N = \frac{1 - \frac{ \omega^{2} \cos \theta }{2} }{1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta - \mu \cos \theta) } > \frac{1 + 3 ( \cos \theta - 1)^{2} }{(1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta - \mu \cos \theta) )(1 + 3 \sin^{2} \theta )}$.
Здесь числитель всегда положителен, а знаменатель положителен (при $0 \leq \theta \leq 90^{ \circ}$ ), если $\mu < 4/3$. Однако в области скольжения назад $\mu < 0,37$; таким образом, снова получаем, что острие карандаша не теряет контакта со столом.
Если острие карандаша на некоторой стадии прекращает скользить, оно тоже не может потерять контакт со столом, потому что тогда
$\omega^{2} < 3(1 - \cos \theta)$,
и, таким образом, $N > \frac{(3 \cos \theta - 1)^{2}}{4} \geq 0$ (см. первую часть решения).
Карандаш удерживают на столе в вертикальном положении заостренным концом вниз. После того как его отпустили, он начинает падать (рис.). Как движется при этом острие карандаша в зависимости от коэффициента трения? Оторвется ли острие карандаша от стола (в отличие от случая, когда в результате скольжения место заточки карандаша в конце концов соприкоснется со столом)?
Решение:
Предположим сначала, что поверхность стола является очень гладкой (коэффициент трения очень маленький). После того как карандаш выпустили, его центр масс ускоряется в направлении падения и приобретает горизонтальную и вертикальную скорости. Горизонтальная составляющая ускорения центра масс появляется за счет хоть и малой, но все-таки имеющейся силы трения между острием карандаша и столом. Поэтому вскоре кончик карандаша начинает скользить влево, «толкая» центр масс вправо.
Если трение очень большое, то в течение относительно долгого времени кончик карандаша остается на месте, а центр масс движется по окружности с центром в месте контакта. При этом горизонтальная составляющая скорости центра масс сначала увеличивается в направлении падения, а потом (после $45^{ \circ}$ ) начинает уменьшаться и может достичь нуля, если кончик карандаша не потерял контакта со столом (например, приклеен) при горизонтальном положении. Знак горизонтального ускорения центра масс, таким образом, так же, как и знак силы трения, изменяется в течение движения. Если карандаш не скользит в течение первой стадии, то он может только скользить вперед, т.е. в направлении падения.
Впоследствии мы собираемся доказать, что кончик карандаша никогда не теряет контакта со столом, как бы он ни скользил. Ради математической простоты будем использовать единичные значения силы тяжести, длины карандаша, и гравитационного ускорения. Таким образом, расстояние центра масс (ЦМ) карандаша равно 1/2 от любого конца, момент инерции карандаша относительно его ЦМ равен 1/12, а относительно одного из его концов он равен 1/3.
В течение первой стадии движения кончик карандаша не скользит, и карандаш вращается относительно своего острия (рис.). Мы можем найти угловую скорость карандаша на основе закона сохранения энергии:
$\frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} \frac{1}{3} \omega^{2}$,
откуда для угловой скорости получаем
$\omega = \sqrt{3(1 - \cos \theta)}$.
Так как мгновенный крутящий момент равен $\sin \theta/2$, угловое ускорение а карандаша определяется по формуле
$\alpha = \frac{3}{2} \sin \theta$.
Имеются две силы, действующие вертикально на карандаш: его сила тяжести, равная 1, и нормальная составляющая силы реакции стола $N$. Вертикальная составляющая центростремительного ускорения ЦМ равна $\frac{ \omega^{2} \cos \theta}{2}$, а вертикальная составляющая тангенциального ускорения равна $\frac{ \alpha \sin \theta}{2}$. Таким образом, в вертикальном направлении уравнение движения ЦМ записывается в виде
$1 - N = \frac{1}{2} \alpha \sin \theta + \frac{1}{2} \omega^{2} \cos \theta$,
откуда получаем
$N = \left ( \frac{3 \cos \theta - 1 }{2} \right )^{2}$.
Кажется, что сила реакции никогда не может стать отрицательной и поэтому острие карандаша не может потерять контакт со столом в течение всей вращательной фазы движения. Нормальная сила реакции равна нулю, когда $\theta = arccos \left ( \frac{1}{3} \right ) \approx 70,5^{ \circ}$. Это означает, что сила трения при этом тоже равна нулю, и карандаш будет скользить, если он не скользил прежде.
Запишем теперь уравнение движения ЦМ по горизонтали:
$F = \frac{1}{2} \alpha \cos \theta - \frac{1}{2} \omega^{2} \sin \theta$,
где $F$ - сила трения. Подставляя сюда выражения углового ускорения $\alpha$ и угловой скорости $\omega$, получаем
$F = \frac{3}{4} \sin \theta (3 \cos \theta - 2)$.
Условие скольжения выглядит так: $|F| > \mu N$, где $\mu$ - коэффициент (статического) трения. Мы можем переформулировать это условие с помощью функции $f ( \theta)$, которая выражается через абсолютное значение отношения сил $F/N$:
$f( \theta) = \left | \frac{F}{N} \right | = \left | 3 \sin \theta \frac{3 \cos \theta - 2}{(3 \cos \theta - 1)^{2} } \right | > \mu$.
Функция $f( \theta)$ изображена на рисунке.
Сила трения изменяет знак, когда угол $\theta$ становится равным
$\theta = arccos \frac{2}{3} \approx 48^{ \circ}$.
Это означает, что скольжение назад может происходить в области $0 < \theta < 48^{ \circ}$. При> использовании числовых методов нетрудно показать, что в этой области $f( \theta)$ имеет максимальное значение $\mu_{крит} \approx 0,37$ при $\theta \approx 35^{ \circ}$. Следовательно, карандаш скользит назад, если $\mu < \mu_{крит}$. Если же $\mu > \mu_{крит}$, то острие скользит вперед до тех пор, пока угол не достигнет величины $\theta \approx 70,5^{ \circ}$, при котором $f( \theta)$ стремится к бесконечности. (Обратите внимание на то, что карандаш не может начать скользить в диапазоне $35^{ \circ} < \theta < 51^{ \circ}$.)
Движения кончика карандаша назад и вперед показаны на рисунке. В обоих случаях скользящая точка карандаша может опять остановиться.
Наконец, покажем, что острие карандаша никогда не теряет контакта со столом. Рассмотрим сначала случай скольжения вперед, показанный на рисунке. Используя теорему косинусов для (векторных) треугольников, запишем уравнение, выражающее закон сохранения энергии:
$\frac{1 - \cos \theta}{2} = A_{тр} + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{12} \omega^{2} + \left ( \frac{ \omega}{2} \right )^{2} + v_{0}^{2} + 2v_{0} \frac{1}{2} \omega \cos \theta \right )$.
Если мы пренебрегаем работой трения $A_{тр}$ и двумя членами, содержащими скорость $v_{0}$ острия карандаша (все три члена положительны), то для угловой скорости мы получаем также неравенство:
$\omega^{2} < 3(1 - \cos \theta)$.
Уравнение мгновенного крутящего момента относительно ЦМ дает
$N \frac{ \sin \theta + \mu \cos \theta}{2} = \frac{ \alpha}{12}$,
а уравнение движения для вертикального направления записывается в виде
$1 - N = \frac{1}{2} \alpha \sin \theta + \frac{1}{2} \omega^{2} \cos \theta$,
т.е. имеет точно такой же вид, как и раньше для случая, в котором нет скольжения. Причина этому та, что острие карандаша имеет только горизонтальное ускорение, и, таким образом, вертикальная составляющая ускорения ЦМ остается неизменной (рис.).
Из двух уравнений, приведенных выше, мы можем выразить нормальную силу $N$ как функцию $\theta$ и $\omega^{2}$. С учетом неравенства
для $\omega^{2}$ получаем неравенство для $N$:
$N = \frac{1 - \frac{ \omega^{2} \cos \theta }{2} }{1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta + \mu \cos \theta ) } > \frac{ \frac{3}{2} \left ( \cos \theta - \frac{1}{2} \right )^{2} + \frac{5}{8} }{1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta + \mu \cos \theta ) } > 0$.
Таким образом, нормальная сила реакции всегда положительна, а значит, кончик карандаша не теряет контакта со столом.
Для случая, в котором скольжение направлено назад, метод рассуждений аналогичный. На рисунке показаны горизонтальная и вертикальная составляющие скорости ЦМ ($v_{x}$ и $v_{y}$ соответственно). Так как острие карандаша имеет нулевую вертикальную скорость, то между $v_{y}$ и $\omega$ имеется такая связь: $v_{y} = \frac{ \omega \sin \theta}{2}$. Мы можем снова использовать закон сохранения энергии:
$\frac{1 - \cos \theta}{2} = A_{тр} + \frac{1}{2} \left ( \frac{1}{12} \omega^{2} + v_{x}^{2} + v_{y}^{2} \right )$.
В этом уравнении мы опять пренебрегаем работой $A_{тр}$ против сил трения и другим положительным членом, содержащим $v_{x}$, и получаем
$\omega^{2} < \frac{1 - \cos \theta}{ \frac{1}{12} + \frac{1}{4} \sin^{2} \theta }$.
Рассматривая снова полный крутящий момент относительно ЦМ и уравнение движения для вертикальной составляющей, получаем для нормальной силы реакции $N$ неравенство
$N = \frac{1 - \frac{ \omega^{2} \cos \theta }{2} }{1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta - \mu \cos \theta) } > \frac{1 + 3 ( \cos \theta - 1)^{2} }{(1 + 3 \sin \theta ( \sin \theta - \mu \cos \theta) )(1 + 3 \sin^{2} \theta )}$.
Здесь числитель всегда положителен, а знаменатель положителен (при $0 \leq \theta \leq 90^{ \circ}$ ), если $\mu < 4/3$. Однако в области скольжения назад $\mu < 0,37$; таким образом, снова получаем, что острие карандаша не теряет контакта со столом.
Если острие карандаша на некоторой стадии прекращает скользить, оно тоже не может потерять контакт со столом, потому что тогда
$\omega^{2} < 3(1 - \cos \theta)$,
и, таким образом, $N > \frac{(3 \cos \theta - 1)^{2}}{4} \geq 0$ (см. первую часть решения).
