Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10337
2019-05-11 
Вертолет может зависать при выходной мощности двигателя $P$. Второй вертолет точная копия первого, но его линейные размеры в два раза меньше. Какая необходима выходная мощность, чтобы второй вертолет смог зависнуть?
Решение:
Разумно предположить, что требуемая мощность $P$ для зависающего вертолета зависит от гравитационного ускорения $g$, линейного размера вертолета $L$, средней плотности вертолета $\rho$ и плотности воздуха $\rho_{в}$. Воспользуемся методом размерностей и запишем для нашей модели уравнение
$[P] = [g]^{ \alpha} [L]^{ \alpha} [ \rho]^{ \gamma} [ \rho_{в} ]^{ \delta}$.
После расшифровки размерностей получаем равенство
$кг \cdot м^{2}/с^{3} = (м/с^{2})^{ \alpha} м^{ \beta} (кг/м^{3})^{ \gamma}(кг/м^{3})^{ \delta}$,
которое приводит к системе линейных уравнений
$\begin{cases} \gamma + \delta = 1, \\ \alpha + \beta - 3( \gamma + \delta) = 2m \\ -2 \alpha = - 3. \end{cases}$
Отсюда находим
$\beta = \frac{7}{2}, \alpha = \frac{3}{2}$ и $\gamma = 1- \delta$.
Заметим, что необходимая механическая мощность пропорциональна линейному размеру в степени 7/2. Так как линейные размеры второго вертолета в два раза меньше, его двигатель должен иметь мощность $P^{*} = 2^{-7/2}P = 0,088P$.
Примечания, а) Эффективность (КПД) механического двигателя можно охарактеризовать отношением мощности к массе двигателя, т.е. удельной мощностью. Согласно полученному результату, запишем
$\frac{P}{m} \sim \frac{P}{L^{3} } \sim \sqrt{L}$,
т.е. требуемая эффективность увеличивается как корень из линейного размера. Это означает, что чем меньше вертолет, тем легче он может зависнуть. Существует много маленьких летающих животных (пчелы, стрекозы, колибри и т.д.), которые могут зависать подобно вертолету, но большие птицы на это не способны.
б) Используя простой анализ размерностей, мы смогли найти только сумму показателей степени $\gamma$ и $\delta$. Однако ясно, что мощность $P$ может зависеть только от произведения плотности $\rho$ вертолета и ускорения $g$ свободного падения, потому что, когда вертолет зависает, происходит компенсация его гравитационной, а не инертной массы. Таким образом, $\gamma = \alpha = 3/2$ и $\delta = -1/2$. Наконец, мы получаем
$P \sim ( \rho g)^{3/2} L^{7/2} \rho_{в}^{-1/2} = ( \rho g L^{3}) \sqrt{ Lg \frac{ \rho}{ \rho_{в} } }$.
На поверхности земли, мы можем изменить только размер и плотность материала вертолета. Однако для использования вертолетов-роботов в других условиях полезно знать, как $P$ зависит от гравитационного ускорения $g$ и плотности $\rho_{в}$ атмосферы заданной планеты.
Вертолет может зависать при выходной мощности двигателя $P$. Второй вертолет точная копия первого, но его линейные размеры в два раза меньше. Какая необходима выходная мощность, чтобы второй вертолет смог зависнуть?
Решение:
Разумно предположить, что требуемая мощность $P$ для зависающего вертолета зависит от гравитационного ускорения $g$, линейного размера вертолета $L$, средней плотности вертолета $\rho$ и плотности воздуха $\rho_{в}$. Воспользуемся методом размерностей и запишем для нашей модели уравнение
$[P] = [g]^{ \alpha} [L]^{ \alpha} [ \rho]^{ \gamma} [ \rho_{в} ]^{ \delta}$.
После расшифровки размерностей получаем равенство
$кг \cdot м^{2}/с^{3} = (м/с^{2})^{ \alpha} м^{ \beta} (кг/м^{3})^{ \gamma}(кг/м^{3})^{ \delta}$,
которое приводит к системе линейных уравнений
$\begin{cases} \gamma + \delta = 1, \\ \alpha + \beta - 3( \gamma + \delta) = 2m \\ -2 \alpha = - 3. \end{cases}$
Отсюда находим
$\beta = \frac{7}{2}, \alpha = \frac{3}{2}$ и $\gamma = 1- \delta$.
Заметим, что необходимая механическая мощность пропорциональна линейному размеру в степени 7/2. Так как линейные размеры второго вертолета в два раза меньше, его двигатель должен иметь мощность $P^{*} = 2^{-7/2}P = 0,088P$.
Примечания, а) Эффективность (КПД) механического двигателя можно охарактеризовать отношением мощности к массе двигателя, т.е. удельной мощностью. Согласно полученному результату, запишем
$\frac{P}{m} \sim \frac{P}{L^{3} } \sim \sqrt{L}$,
т.е. требуемая эффективность увеличивается как корень из линейного размера. Это означает, что чем меньше вертолет, тем легче он может зависнуть. Существует много маленьких летающих животных (пчелы, стрекозы, колибри и т.д.), которые могут зависать подобно вертолету, но большие птицы на это не способны.
б) Используя простой анализ размерностей, мы смогли найти только сумму показателей степени $\gamma$ и $\delta$. Однако ясно, что мощность $P$ может зависеть только от произведения плотности $\rho$ вертолета и ускорения $g$ свободного падения, потому что, когда вертолет зависает, происходит компенсация его гравитационной, а не инертной массы. Таким образом, $\gamma = \alpha = 3/2$ и $\delta = -1/2$. Наконец, мы получаем
$P \sim ( \rho g)^{3/2} L^{7/2} \rho_{в}^{-1/2} = ( \rho g L^{3}) \sqrt{ Lg \frac{ \rho}{ \rho_{в} } }$.
На поверхности земли, мы можем изменить только размер и плотность материала вертолета. Однако для использования вертолетов-роботов в других условиях полезно знать, как $P$ зависит от гравитационного ускорения $g$ и плотности $\rho_{в}$ атмосферы заданной планеты.
