Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10336
2019-05-11 
Математический маятник и однородный стержень одной и той же длины отклоняют до горизонтальных положений и отпускают (рис.). Каково отношение их периодов колебаний?
Решение:
Рассмотрим движения математического маятника длиной $L$ и маятника в виде однородного стержня длиной $l$ (рис.). Определим угловые скорости $\omega$ маятников в зависимости от угла отклонения $\alpha$ после того, как каждый из них начал движение из горизонтального положения. Применим закон сохранения энергии.
Для математического маятника:
$\frac{m L^{2} \omega^{2} }{2} = mgL \sin \alpha$, откуда $\omega_{м} = \sqrt{ \frac{2g}{L } \sin \alpha }$.
Для стержня:
$\frac{ml^{2} }{3} \frac{ \omega^{2} }{2} = mg \frac{l}{2} \sin \alpha$, откуда $\omega_{с} = \sqrt{ \frac{3g}{l} \sin \alpha }$.
Таким образом, отношение скоростей маятников при любом угле отклонения, а значит и в любой момент времени, равно
$\frac{ \omega_{м}}{ \omega_{с} } = \sqrt{ \frac{2}{3} \frac{l}{L} }$.
Отсюда следует, что при одинаковых длинах и угловой амплитуде период колебаний математического маятника в $\sqrt{ \frac{3}{2}} = 1,22$ больше периода колебаний тяжелого стержня.
Математический маятник и однородный стержень одной и той же длины отклоняют до горизонтальных положений и отпускают (рис.). Каково отношение их периодов колебаний?
Решение:
Рассмотрим движения математического маятника длиной $L$ и маятника в виде однородного стержня длиной $l$ (рис.). Определим угловые скорости $\omega$ маятников в зависимости от угла отклонения $\alpha$ после того, как каждый из них начал движение из горизонтального положения. Применим закон сохранения энергии.
Для математического маятника:
$\frac{m L^{2} \omega^{2} }{2} = mgL \sin \alpha$, откуда $\omega_{м} = \sqrt{ \frac{2g}{L } \sin \alpha }$.
Для стержня:
$\frac{ml^{2} }{3} \frac{ \omega^{2} }{2} = mg \frac{l}{2} \sin \alpha$, откуда $\omega_{с} = \sqrt{ \frac{3g}{l} \sin \alpha }$.
Таким образом, отношение скоростей маятников при любом угле отклонения, а значит и в любой момент времени, равно
$\frac{ \omega_{м}}{ \omega_{с} } = \sqrt{ \frac{2}{3} \frac{l}{L} }$.
Отсюда следует, что при одинаковых длинах и угловой амплитуде период колебаний математического маятника в $\sqrt{ \frac{3}{2}} = 1,22$ больше периода колебаний тяжелого стержня.
