Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1033
2016-09-18 
Телу массой $m$, находящемуся на горизонтальной поверхности, сообщили скорость $v_{0}$ в направлении оси $X$. График зависимости скорости тела $v$ от его координаты $x$ изображён на рисунке. Найдите зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты $x$.
Решение:
Работа, совершённая силой трения к моменту попадания тела в точку с координатой $x$, по модулю равна
$A(x) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} - \frac{mv^{2}(x)}{2} = \frac{m}{2} \left ( v_{0}^{2} - \left ( v_{0} \left ( 1 - \frac{x}{l} \right ) \right )^{2} \right ) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{2x}{l} - \left ( \frac{x}{l} \right )^{2} \right )$.
Следовательно, на участке от $x$ до $x + \Delta x$ совершается работа
$A(x + \Delta x) - A(x) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{2(x + \Delta x)}{l} - \left ( \frac{x + \Delta x}{l} \right )^{2} - \frac{2x}{l} + \left ( \frac{x}{l} \right )^{2} \right ) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{2 \cdot \Delta x}{l} - \frac{ 2x \cdot \Delta x}{l^{2}} - \left ( \frac{ \Delta x}{l} \right )^{2} \right )$.
При малых $\Delta x$ последним слагаемым можно пренебречь. Поскольку $A(x + \Delta x) — A(x) = F_{тр} \cdot \Delta x$, то для силы трения, действующей на тело в точке $x$, получаем:
$F_{тр} = \frac{}{} \left ( \frac{2}{l} - \frac{2x}{l^{2}} \right ) = \frac{mv_{0}^{2}}{l} \left ( 1 - \frac{x}{l} \right )$,
то есть сила трения линейно зависит от координаты $x$.
Задачу можно решать и другим, более формальным способом. Действительно, искомая величина силы трения, в соответствии со вторым законом Ньютона, равна $F_{тр} = |ma|$. По определению ускорения:
$F_{тр} = |ma| = m \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta t} \right | = m \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta x} \right | \cdot \left | \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \right |$.
Но $ \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta x} \right | = \frac{v_{0}}{l}$, а $\left | \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \right | = |v(x)| = v_{0} \left ( 1 - \frac{x}{l} \right )$.
Отсюда для величины силы трения получаем прежний ответ.
Телу массой $m$, находящемуся на горизонтальной поверхности, сообщили скорость $v_{0}$ в направлении оси $X$. График зависимости скорости тела $v$ от его координаты $x$ изображён на рисунке. Найдите зависимость величины силы трения, действующей на тело, от координаты $x$.
Решение:
Работа, совершённая силой трения к моменту попадания тела в точку с координатой $x$, по модулю равна
$A(x) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} - \frac{mv^{2}(x)}{2} = \frac{m}{2} \left ( v_{0}^{2} - \left ( v_{0} \left ( 1 - \frac{x}{l} \right ) \right )^{2} \right ) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{2x}{l} - \left ( \frac{x}{l} \right )^{2} \right )$.
Следовательно, на участке от $x$ до $x + \Delta x$ совершается работа
$A(x + \Delta x) - A(x) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{2(x + \Delta x)}{l} - \left ( \frac{x + \Delta x}{l} \right )^{2} - \frac{2x}{l} + \left ( \frac{x}{l} \right )^{2} \right ) = \frac{mv_{0}^{2}}{2} \left ( \frac{2 \cdot \Delta x}{l} - \frac{ 2x \cdot \Delta x}{l^{2}} - \left ( \frac{ \Delta x}{l} \right )^{2} \right )$.
При малых $\Delta x$ последним слагаемым можно пренебречь. Поскольку $A(x + \Delta x) — A(x) = F_{тр} \cdot \Delta x$, то для силы трения, действующей на тело в точке $x$, получаем:
$F_{тр} = \frac{}{} \left ( \frac{2}{l} - \frac{2x}{l^{2}} \right ) = \frac{mv_{0}^{2}}{l} \left ( 1 - \frac{x}{l} \right )$,
то есть сила трения линейно зависит от координаты $x$.
Задачу можно решать и другим, более формальным способом. Действительно, искомая величина силы трения, в соответствии со вторым законом Ньютона, равна $F_{тр} = |ma|$. По определению ускорения:
$F_{тр} = |ma| = m \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta t} \right | = m \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta x} \right | \cdot \left | \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \right |$.
Но $ \left | \frac{ \Delta v}{ \Delta x} \right | = \frac{v_{0}}{l}$, а $\left | \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \right | = |v(x)| = v_{0} \left ( 1 - \frac{x}{l} \right )$.
Отсюда для величины силы трения получаем прежний ответ.
