Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10329
2019-05-11 
Питер, который наблюдал за автомобильными гонками, рассчитал, что если один из автомобилей при разгоне из состояния покоя до скорости 100 км/ч истратил $x$ литров топлива, то использование следующих $3x$ литров топлива могло бы увеличить его скорость до 200 км/ч. Питер знал, благодаря физике, что кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, и предположил, что энергосодержание топлива было главным образом преобразовано в кинетическую энергию, т.е. он пренебрег всеми типами трения.
Пол, который также разбирается в физике, видел начало гонки из окна поезда, идущего со скоростью 100 км/ч в противоположном направлении по отношению к движению автомобиля. Он рассуждал так: поскольку скорость автомобиля увеличилась со 100 до 200 км/ч в течение первого этапа, то для разгона автомобиля с 200 до 300 км/ч на втором этапе ему потребуется $\frac{(300^{2} - 200^{2}) x}{200^{2} - 100^{2}} = \left ( \frac{5}{3} \right ) x$ литров топлива.
Кто прав, Питер или Пол?
Решение:
Решение 1. Рассмотрим систему автомобиль - Земля. Во время ускорения автомобиль как бы толкает Землю немного назад и тем самым изменяет ее угловую скорость. Чтобы разобраться в парадоксе задачи, необходимо учесть именно этот небольшой эффект.
Ради простоты, рассмотрим автомобиль массой $m$, едущий по телу массой $M$ ( $M \gg m$ ), которое может двигаться свободно в направлении движения автомобиля. Неподвижный наблюдатель сказал бы, что если автомобиль сначала ускоряется до некоторой скорости $v_{0}$ и затем до скорости $2v_{0}$, то тело массой $M$ сначала достигает скорости $u_{1} = \frac{ - mv_{0}}{M}$, а затем $u_{2} = \frac{ -2mv_{0}}{M}$. При этом кинетическая энергия тела увеличивается сначала до $\frac{Mu_{1}^{2}}{2} = \frac{m^{2}v_{0}^{2}}{2M}$ и затем до $\frac{Mu_{2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}v_{0}^{2}}{M}$. Так как $M \gg m$, кинетической энергией большого тела и изменением его энергии можно пренебречь. Таким образом, отношение значений расхода топлива должно быть 1:3.
Ситуация меняется для наблюдателя, перемещающегося со скоростью $v_{0}$. Он видит, как скорость автомобиля сначала увеличивается с $v_{0}$ до $2v_{0}$ и затем до $\left ( 1 - \frac{2m}{M} \right ) v_{0}$, в то время как, в соответствии с законом сохранения импульса, скорость другого тела изменяется от начальной $-v_{0}$ до $\left (1 - \frac{m}{M} \right )v_{0}$ и затем до $\left ( 1 - \frac{2m}{M} \right ) v_{0}$. Поэтому изменения кинетической энергии системы автомобиль - Земля следующие:
на первом этапе
$m \frac{(2v_{0} )^{2} - v_{0}^{2} }{2} + M \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )^{2} \frac{v_{0}^{2} }{2} - \frac{Mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$
на втором этапе
$m \frac{(3v_{0} - (2v_{0} )^{2} )^{2} }{2} + M \left ( 1 - \frac{2m}{M} \right )^{2} \frac{v_{0}^{2} }{2} - M \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )^{2} \frac{v_{0}^{2} }{2} = \frac{3mv_{0}^{2} }{2}$.
Легко заметить, что отношение энергий (расходов топлива) равно 1 : 3 для обоих наблюдателей.
Решение 2. Трение «подталкивает» Землю назад, тем самым ускоряет автомобиль вперед через его колеса. В земной системе отсчета (система координат Питера) работа произведена только на ускорение автомобиля, а не на Землю. С другой стороны, в системе отсчета поезда (система координат Пола) трение покоя, действующее на Землю, также работает. Рассматриваемое в этой системе координат отношение работ, произведенных на ускорение автомобиля в этих двух стадиях, равно 3:5, так как перемещения автомобиля за время $t$ равны $3v_{0}t/2$ и $5v_{0}t/2$ соответственно. Работа, затраченная на ускорение Земли, равна 2 единицам, так как смещение Земли равно $v_{0}t$. Полная работа, таким образом, составляет 3 - 2 = 1 единицу на первой стадии ускорения и 5 - 2 = 3 единицы - на второй. Когда отношение работ рассматривается из поезда, оно снова равно 1:3.
Питер, который наблюдал за автомобильными гонками, рассчитал, что если один из автомобилей при разгоне из состояния покоя до скорости 100 км/ч истратил $x$ литров топлива, то использование следующих $3x$ литров топлива могло бы увеличить его скорость до 200 км/ч. Питер знал, благодаря физике, что кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, и предположил, что энергосодержание топлива было главным образом преобразовано в кинетическую энергию, т.е. он пренебрег всеми типами трения.
Пол, который также разбирается в физике, видел начало гонки из окна поезда, идущего со скоростью 100 км/ч в противоположном направлении по отношению к движению автомобиля. Он рассуждал так: поскольку скорость автомобиля увеличилась со 100 до 200 км/ч в течение первого этапа, то для разгона автомобиля с 200 до 300 км/ч на втором этапе ему потребуется $\frac{(300^{2} - 200^{2}) x}{200^{2} - 100^{2}} = \left ( \frac{5}{3} \right ) x$ литров топлива.
Кто прав, Питер или Пол?
Решение:
Решение 1. Рассмотрим систему автомобиль - Земля. Во время ускорения автомобиль как бы толкает Землю немного назад и тем самым изменяет ее угловую скорость. Чтобы разобраться в парадоксе задачи, необходимо учесть именно этот небольшой эффект.
Ради простоты, рассмотрим автомобиль массой $m$, едущий по телу массой $M$ ( $M \gg m$ ), которое может двигаться свободно в направлении движения автомобиля. Неподвижный наблюдатель сказал бы, что если автомобиль сначала ускоряется до некоторой скорости $v_{0}$ и затем до скорости $2v_{0}$, то тело массой $M$ сначала достигает скорости $u_{1} = \frac{ - mv_{0}}{M}$, а затем $u_{2} = \frac{ -2mv_{0}}{M}$. При этом кинетическая энергия тела увеличивается сначала до $\frac{Mu_{1}^{2}}{2} = \frac{m^{2}v_{0}^{2}}{2M}$ и затем до $\frac{Mu_{2}^{2}}{2} = \frac{2m^{2}v_{0}^{2}}{M}$. Так как $M \gg m$, кинетической энергией большого тела и изменением его энергии можно пренебречь. Таким образом, отношение значений расхода топлива должно быть 1:3.
Ситуация меняется для наблюдателя, перемещающегося со скоростью $v_{0}$. Он видит, как скорость автомобиля сначала увеличивается с $v_{0}$ до $2v_{0}$ и затем до $\left ( 1 - \frac{2m}{M} \right ) v_{0}$, в то время как, в соответствии с законом сохранения импульса, скорость другого тела изменяется от начальной $-v_{0}$ до $\left (1 - \frac{m}{M} \right )v_{0}$ и затем до $\left ( 1 - \frac{2m}{M} \right ) v_{0}$. Поэтому изменения кинетической энергии системы автомобиль - Земля следующие:
на первом этапе
$m \frac{(2v_{0} )^{2} - v_{0}^{2} }{2} + M \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )^{2} \frac{v_{0}^{2} }{2} - \frac{Mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{0}^{2} }{2}$
на втором этапе
$m \frac{(3v_{0} - (2v_{0} )^{2} )^{2} }{2} + M \left ( 1 - \frac{2m}{M} \right )^{2} \frac{v_{0}^{2} }{2} - M \left ( 1 - \frac{m}{M} \right )^{2} \frac{v_{0}^{2} }{2} = \frac{3mv_{0}^{2} }{2}$.
Легко заметить, что отношение энергий (расходов топлива) равно 1 : 3 для обоих наблюдателей.
Решение 2. Трение «подталкивает» Землю назад, тем самым ускоряет автомобиль вперед через его колеса. В земной системе отсчета (система координат Питера) работа произведена только на ускорение автомобиля, а не на Землю. С другой стороны, в системе отсчета поезда (система координат Пола) трение покоя, действующее на Землю, также работает. Рассматриваемое в этой системе координат отношение работ, произведенных на ускорение автомобиля в этих двух стадиях, равно 3:5, так как перемещения автомобиля за время $t$ равны $3v_{0}t/2$ и $5v_{0}t/2$ соответственно. Работа, затраченная на ускорение Земли, равна 2 единицам, так как смещение Земли равно $v_{0}t$. Полная работа, таким образом, составляет 3 - 2 = 1 единицу на первой стадии ускорения и 5 - 2 = 3 единицы - на второй. Когда отношение работ рассматривается из поезда, оно снова равно 1:3.
