Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10327
2019-05-11 
Прямоугольная кювета наполняется через кран водой в течение времени $T_{1}$. Если кран закрыть, а открыть сливное отверстие в дне кюветы, то она опустошается за время $T_{2}$. Что будет, если открыть одновременно кран и сливное отверстие? При какой величине отношения $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ кювета может переполниться? Рассмотрите случай, когда $T_{1} = 3 мин$, а $T_{2} = 2 мин$.
Решение:
Пусть $x$ - отношение фактического уровня воды в кювете к максимальному уровню; то же самое число показывает отношение объема воды в момент времени $t$ к максимально возможному объему.
Во время заполнения $x$ увеличивается со временем $t$ равномерно, пока не достигнет значения $x = 1$ за время $T_{1}$, поэтому скорость наполнения кюветы $v_{+}$ равна
$v_{+} = \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{нап} = \frac{1}{T_{1} }$.
Когда вода вытекает, то скорость $v_{-}$ вытекания и, следовательно, скорость уменьшения х пропорциональны квадратному корню из высоты столба воды, т.е. квадратному корню из $x$:
$v_{-} = \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{выт} = - K \sqrt{x}$,
где $K$ - коэффициент пропорциональности. Он определяется из условия уменьшения $x$ от 1 до 0 за время $T_{2}$. Так как уравнение для вытекания имеет тот же вид, что и соотношение между скоростью и координатой при движении тела с постоянным ускорением $a$, т.е. $v = \sqrt{2ax}$, то можно считать, что уровень жидкости уменьшается до нуля при линейно изменяющейся скорости. Начальная скорость уменьшения $x$ равна $K$ (так как $x = 1$), конечная скорость равна нулю; поэтому средняя скорость уменьшения $x$ равна $K/2$. Таким образом, $K = 2/T_{2}$. (То же самое можно получить при интегрировании уравнения для $v_{-}$.)
Если открыть кран и сливное отверстие вместе, то результирующая скорость изменения уровня определится уравнением
$\frac{dx}{dt} = v_{+} + v_{-} = \frac{1}{T_{1} } - \frac{2 \sqrt{x} }{T_{2} }$.
В состоянии равновесия уровень $x$ воды не изменяется, т.е. $dx/dt = 0$. Отсюда находим стационарный уровень $x_{ст}$ воды:
$x = x_{ст} = \left ( \frac{T_{2} }{2T_{1} } \right )^{2}$.
Например, если кювета заполняется за то же самое время, за которое опустошается ( $T_{1} = T_{2}$ ), то $x_{ст} = 1/4$ и не зависит от начальных условий. С данными, приведенными в задаче, $x_{ст} = 1/9$.
Можно заметить, что переполнение грозит только в том случае, если для опорожнения кюветы требуется более чем вдвое больше времени, чем для ее заполнения ( $T_{2} > 2 T_{1}$).
Примечание. Одно из условий, которое учитывается при доказательстве закона истечения Торричелли ( $v \sim \sqrt{h}$ ), состоит в том, что диаметр отверстия много меньше толщи воды. Это условие, конечно, не удовлетворяется, когда кювета почти пуста, и поэтому наши результаты только приблизительны. Кроме того, если отверстие очень маленькое, то вязкость воды, которой мы пренебрегали, тоже играет важную роль.
Прямоугольная кювета наполняется через кран водой в течение времени $T_{1}$. Если кран закрыть, а открыть сливное отверстие в дне кюветы, то она опустошается за время $T_{2}$. Что будет, если открыть одновременно кран и сливное отверстие? При какой величине отношения $\frac{T_{1}}{T_{2}}$ кювета может переполниться? Рассмотрите случай, когда $T_{1} = 3 мин$, а $T_{2} = 2 мин$.
Решение:
Пусть $x$ - отношение фактического уровня воды в кювете к максимальному уровню; то же самое число показывает отношение объема воды в момент времени $t$ к максимально возможному объему.
Во время заполнения $x$ увеличивается со временем $t$ равномерно, пока не достигнет значения $x = 1$ за время $T_{1}$, поэтому скорость наполнения кюветы $v_{+}$ равна
$v_{+} = \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{нап} = \frac{1}{T_{1} }$.
Когда вода вытекает, то скорость $v_{-}$ вытекания и, следовательно, скорость уменьшения х пропорциональны квадратному корню из высоты столба воды, т.е. квадратному корню из $x$:
$v_{-} = \left ( \frac{dx}{dt} \right )_{выт} = - K \sqrt{x}$,
где $K$ - коэффициент пропорциональности. Он определяется из условия уменьшения $x$ от 1 до 0 за время $T_{2}$. Так как уравнение для вытекания имеет тот же вид, что и соотношение между скоростью и координатой при движении тела с постоянным ускорением $a$, т.е. $v = \sqrt{2ax}$, то можно считать, что уровень жидкости уменьшается до нуля при линейно изменяющейся скорости. Начальная скорость уменьшения $x$ равна $K$ (так как $x = 1$), конечная скорость равна нулю; поэтому средняя скорость уменьшения $x$ равна $K/2$. Таким образом, $K = 2/T_{2}$. (То же самое можно получить при интегрировании уравнения для $v_{-}$.)
Если открыть кран и сливное отверстие вместе, то результирующая скорость изменения уровня определится уравнением
$\frac{dx}{dt} = v_{+} + v_{-} = \frac{1}{T_{1} } - \frac{2 \sqrt{x} }{T_{2} }$.
В состоянии равновесия уровень $x$ воды не изменяется, т.е. $dx/dt = 0$. Отсюда находим стационарный уровень $x_{ст}$ воды:
$x = x_{ст} = \left ( \frac{T_{2} }{2T_{1} } \right )^{2}$.
Например, если кювета заполняется за то же самое время, за которое опустошается ( $T_{1} = T_{2}$ ), то $x_{ст} = 1/4$ и не зависит от начальных условий. С данными, приведенными в задаче, $x_{ст} = 1/9$.
Можно заметить, что переполнение грозит только в том случае, если для опорожнения кюветы требуется более чем вдвое больше времени, чем для ее заполнения ( $T_{2} > 2 T_{1}$).
Примечание. Одно из условий, которое учитывается при доказательстве закона истечения Торричелли ( $v \sim \sqrt{h}$ ), состоит в том, что диаметр отверстия много меньше толщи воды. Это условие, конечно, не удовлетворяется, когда кювета почти пуста, и поэтому наши результаты только приблизительны. Кроме того, если отверстие очень маленькое, то вязкость воды, которой мы пренебрегали, тоже играет важную роль.
