Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10325
2019-05-11 
Две одинаковые гантели движутся друг к другу без вращения по горизонтальному столу на воздушной подушке (рис.). Каждую гантель можно рассматривать как две точечные массы $m$, скрепленные невесомым стержнем длиной $2l$. Опишите движение гантелей после их упругого столкновения. Изобразите зависимости скоростей центров масс гантелей от времени.
Решение:
Так как гантели приближаются друг к другу с одинаковыми скоростями, то в системе координат, связанной со столом, сумма их импульсов нулевая (как и у центра масс системы). Таким образом, закон сохранения импульса подразумевает, что центры масс этих гантелей всегда движутся с одинаковыми скоростями, но в противоположных направлениях.
Когда гантели сталкиваются, энергия и суммарный момент импульса сохраняются, так как система изолирована от внешних воздействий, а столкновения абсолютно упругие. Состояния системы до и после столкновения показаны на рисунке. Перед столкновением гантели обладают только поступательной кинетической энергией, в то время как после столкновения появляется вращательная энергия. Вычислив момент импульса для гантелей относительно их точки контакта Р, запишем уравнения законов сохранения энергии и момента импульса системы:
$2 \left ( \frac{2mv^{2} }{2} \right ) = 2 \left ( \frac{2mV^{2} }{2} + \frac{2 ml^{2} \omega^{2} }{2} \right )$,
$4mvl = 2mVl + 2ml^{2} \omega$.
Нетривиальное решение ( $V \neq v, \omega \neq 0$ ) этой системы уравнений таково: $V = 0, \omega = \frac{v}{l}$. Это означает, что центры масс гантелей прекращают перемещаться после столкновения, сталкивающиеся точечные массы изменяют свои скорости, в то время как несталкивающиеся сохраняют свои первоначальные скорости. Ситуацию можно интерпретировать следующим образом: точечные массы, соединенные твердым, но невесомым стержнем, не ощущают присутствия друг друга в ходе мгновенного столкновения; стержень передает момент силы, возникающей из-за деформации ударяющихся шаров, когда гантель вращается относительно своего неподвижного центра масс.
Понятно, что гантели, совершив каждая пол-оборота, т.е. через время $t = \frac{ \pi}{ \omega}$, снова сталкиваются. Используя предыдущие результаты, дальнейшее движение гантелей можно предсказать без решения уравнений: вращение гантелей прекращается, и они снова движутся поступательно с теми же самыми скоростями, как перед первым столкновением. Их путь - та же самая прямая, только шары у гантелей поменялись местами.
Скорость гантелей как функция времени показана на рисунке.
Две одинаковые гантели движутся друг к другу без вращения по горизонтальному столу на воздушной подушке (рис.). Каждую гантель можно рассматривать как две точечные массы $m$, скрепленные невесомым стержнем длиной $2l$. Опишите движение гантелей после их упругого столкновения. Изобразите зависимости скоростей центров масс гантелей от времени.
Решение:
Так как гантели приближаются друг к другу с одинаковыми скоростями, то в системе координат, связанной со столом, сумма их импульсов нулевая (как и у центра масс системы). Таким образом, закон сохранения импульса подразумевает, что центры масс этих гантелей всегда движутся с одинаковыми скоростями, но в противоположных направлениях.
Когда гантели сталкиваются, энергия и суммарный момент импульса сохраняются, так как система изолирована от внешних воздействий, а столкновения абсолютно упругие. Состояния системы до и после столкновения показаны на рисунке. Перед столкновением гантели обладают только поступательной кинетической энергией, в то время как после столкновения появляется вращательная энергия. Вычислив момент импульса для гантелей относительно их точки контакта Р, запишем уравнения законов сохранения энергии и момента импульса системы:
$2 \left ( \frac{2mv^{2} }{2} \right ) = 2 \left ( \frac{2mV^{2} }{2} + \frac{2 ml^{2} \omega^{2} }{2} \right )$,
$4mvl = 2mVl + 2ml^{2} \omega$.
Нетривиальное решение ( $V \neq v, \omega \neq 0$ ) этой системы уравнений таково: $V = 0, \omega = \frac{v}{l}$. Это означает, что центры масс гантелей прекращают перемещаться после столкновения, сталкивающиеся точечные массы изменяют свои скорости, в то время как несталкивающиеся сохраняют свои первоначальные скорости. Ситуацию можно интерпретировать следующим образом: точечные массы, соединенные твердым, но невесомым стержнем, не ощущают присутствия друг друга в ходе мгновенного столкновения; стержень передает момент силы, возникающей из-за деформации ударяющихся шаров, когда гантель вращается относительно своего неподвижного центра масс.
Понятно, что гантели, совершив каждая пол-оборота, т.е. через время $t = \frac{ \pi}{ \omega}$, снова сталкиваются. Используя предыдущие результаты, дальнейшее движение гантелей можно предсказать без решения уравнений: вращение гантелей прекращается, и они снова движутся поступательно с теми же самыми скоростями, как перед первым столкновением. Их путь - та же самая прямая, только шары у гантелей поменялись местами.
Скорость гантелей как функция времени показана на рисунке.
