Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10324
2019-05-11 
Демонстрационная игрушка состоит из почти касающихся друг друга стальных шаров с массами $M, \mu$ и $m$, подвешенных так, что их центры лежат на общей горизонтали. Шар массой $M$ отклоняют в сторону в их общей плоскости, пока его центр не поднимется на высоту $h$, и отпускают. Считая, что столкновения абсолютно упругие и что $M \neq m$, найдите массу шара $\mu$, при которой шар массой $m$ поднимется до наибольшей высоты. Какова эта высота? Множественные - столкновения шаров не учитывать.
Решение:
Для первого столкновения законы сохранение импульса и энергии дают
$M \sqrt{2gh} = MV + \mu v$,
$Mgh = \frac{MV^{2} }{2} + \frac{ \mu v^{2} }{2}$.
Исключим $V$ и получим
$v = \frac{2M \sqrt{2gh} }{M + \mu}$.
Тогда кинетическая энергия $E_{1}$, переданная от первого шара среднему, равна
$E_{1} = \frac{ 4 \mu M^{2}gh}{( \mu + M )^{2} }$,
что составляет долю начальной энергии первого шара, равную
$k_{1} = \frac{4 \mu M}{( \mu + M)^{2} }$.
Доля энергии, переданной третьему шару, определяется произведением двух таких выражений, примененных к различным парам шаров. Для оптимизации этой доли $\mu$ должно быть таким, чтобы выражение $\frac{ \mu^{2}}{ ( \mu + M)^{2}} ( \mu + m)^{2}$ было максимальным. Отсюда следует, что $\mu = \sqrt{Mm}$, т.е. $\mu$ равно среднему геометрическому от $M$ и $m$. При таком значении $\mu$ суммарная доля $k_{2}$ переданной энергии от первого шара третьему составляет
$k_{2} = \frac{16 Mm}{( \sqrt{M} + \sqrt{m} )^{4} }$
а высота $h_{m}$, достигаемая третьим шаром, равна
$h_{m} = \frac{16 M^{2}h }{( \sqrt{m} + \sqrt{M} )^{4} }$.
Демонстрационная игрушка состоит из почти касающихся друг друга стальных шаров с массами $M, \mu$ и $m$, подвешенных так, что их центры лежат на общей горизонтали. Шар массой $M$ отклоняют в сторону в их общей плоскости, пока его центр не поднимется на высоту $h$, и отпускают. Считая, что столкновения абсолютно упругие и что $M \neq m$, найдите массу шара $\mu$, при которой шар массой $m$ поднимется до наибольшей высоты. Какова эта высота? Множественные - столкновения шаров не учитывать.
Решение:
Для первого столкновения законы сохранение импульса и энергии дают
$M \sqrt{2gh} = MV + \mu v$,
$Mgh = \frac{MV^{2} }{2} + \frac{ \mu v^{2} }{2}$.
Исключим $V$ и получим
$v = \frac{2M \sqrt{2gh} }{M + \mu}$.
Тогда кинетическая энергия $E_{1}$, переданная от первого шара среднему, равна
$E_{1} = \frac{ 4 \mu M^{2}gh}{( \mu + M )^{2} }$,
что составляет долю начальной энергии первого шара, равную
$k_{1} = \frac{4 \mu M}{( \mu + M)^{2} }$.
Доля энергии, переданной третьему шару, определяется произведением двух таких выражений, примененных к различным парам шаров. Для оптимизации этой доли $\mu$ должно быть таким, чтобы выражение $\frac{ \mu^{2}}{ ( \mu + M)^{2}} ( \mu + m)^{2}$ было максимальным. Отсюда следует, что $\mu = \sqrt{Mm}$, т.е. $\mu$ равно среднему геометрическому от $M$ и $m$. При таком значении $\mu$ суммарная доля $k_{2}$ переданной энергии от первого шара третьему составляет
$k_{2} = \frac{16 Mm}{( \sqrt{M} + \sqrt{m} )^{4} }$
а высота $h_{m}$, достигаемая третьим шаром, равна
$h_{m} = \frac{16 M^{2}h }{( \sqrt{m} + \sqrt{M} )^{4} }$.
