Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10321
2019-05-10 
Четыре одинаковых кирпича лежит друг на друге на краю стола. Можно ли их сместить горизонтально вдоль друг друга таким образом, чтобы самый верхний оказался полностью вне области стола? Каков будет теоретический предел смещения самого верхнего кирпича, если количество кирпичей произвольно увеличивать?
Решение:
Установим все кирпичи друг на друге ровной стопкой и выровняем с краем стола. Пусть $L$ - длина каждого кирпича, а координата края стола по горизонтали равна нулю. Пронумеруем их сверху вниз: 1,2,3, 4, (5, и т.д.). Начнем процесс смещения кирпичей с самого верхнего (рис.). Так как центр тяжести кирпича 1 находится на расстоянии $L/$2 слева от края, то его можно сместить на L/2 (на самом деле, чуть меньше), и он не упадет с кирпича 2. Далее, видим, что центр тяжести системы кирпичей 1 и 2 находится на расстоянии $L/4$ слева от края, поэтому эти кирпичи как единое целое можно сместить на $L/4$ (на самом деле, чуть меньше), и они не упадут с кирпича 3. Кирпич 1, таким образом, оказался смещенным на $L/2 + L/4$. Теперь видим, что центр тяжести системы кирпичей 1, 2 и 3 находится на расстоянии $L/6$ слева от края, поэтому эти кирпичи как единое целое можно сместить на $L/6$ (на самом деле, чуть меньше), и они не упадут с кирпича 4. Кирпич 1 при этом оказался смещенным на $L/2 + + L/4 + L/6$. Для окончательного понимания процесса убеждаемся в том, что центр тяжести системы кирпичей 1, 2, 3 и 4 находится на расстоянии $L/8$ слева от края, поэтому эти кирпичи как единое целое можно сместить на $L/8$ (на самом деле, чуть меньше), и они не упадут со стола. Кирпич 1 в итоге оказался смещенным на расстояние $L/2 + L/4 + L/6 + L/8$.
Теперь, конечно, уже совершенно ясно, что увеличение числа кирпичей и постепенное смещение i-го кирпича на расстояние $(L/2)/i$ обеспечивает вынос кирпича 1 на расстояние $(L/2)(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + \cdots + 1 /n)$. Сумма ряда в скобках при $n$, стремящемся к бесконечности, тоже стремится к бесконечности. Значит, теоретически верхний кирпич можно сдвинуть без потери равновесия на какое угодно расстояние.
Реально необходимо учесть неточность в изготовлении кирпичей и их установки по заданному алгоритму. Если положить общую неточность порядка 0,4 см, то число кирпичей, участвующих в смещении, может быть порядка 30, а кирпич 1 при этом смещается на две свои длины. (Элементарно можно изготовить, например, вход в здание шириной около метра и высотой около двух метров.) При наличии четырех кирпичей верхний кирпич можно сместить относительно края стола на 1,04 длины кирпича.
Четыре одинаковых кирпича лежит друг на друге на краю стола. Можно ли их сместить горизонтально вдоль друг друга таким образом, чтобы самый верхний оказался полностью вне области стола? Каков будет теоретический предел смещения самого верхнего кирпича, если количество кирпичей произвольно увеличивать?
Решение:
Установим все кирпичи друг на друге ровной стопкой и выровняем с краем стола. Пусть $L$ - длина каждого кирпича, а координата края стола по горизонтали равна нулю. Пронумеруем их сверху вниз: 1,2,3, 4, (5, и т.д.). Начнем процесс смещения кирпичей с самого верхнего (рис.). Так как центр тяжести кирпича 1 находится на расстоянии $L/$2 слева от края, то его можно сместить на L/2 (на самом деле, чуть меньше), и он не упадет с кирпича 2. Далее, видим, что центр тяжести системы кирпичей 1 и 2 находится на расстоянии $L/4$ слева от края, поэтому эти кирпичи как единое целое можно сместить на $L/4$ (на самом деле, чуть меньше), и они не упадут с кирпича 3. Кирпич 1, таким образом, оказался смещенным на $L/2 + L/4$. Теперь видим, что центр тяжести системы кирпичей 1, 2 и 3 находится на расстоянии $L/6$ слева от края, поэтому эти кирпичи как единое целое можно сместить на $L/6$ (на самом деле, чуть меньше), и они не упадут с кирпича 4. Кирпич 1 при этом оказался смещенным на $L/2 + + L/4 + L/6$. Для окончательного понимания процесса убеждаемся в том, что центр тяжести системы кирпичей 1, 2, 3 и 4 находится на расстоянии $L/8$ слева от края, поэтому эти кирпичи как единое целое можно сместить на $L/8$ (на самом деле, чуть меньше), и они не упадут со стола. Кирпич 1 в итоге оказался смещенным на расстояние $L/2 + L/4 + L/6 + L/8$.
Теперь, конечно, уже совершенно ясно, что увеличение числа кирпичей и постепенное смещение i-го кирпича на расстояние $(L/2)/i$ обеспечивает вынос кирпича 1 на расстояние $(L/2)(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + \cdots + 1 /n)$. Сумма ряда в скобках при $n$, стремящемся к бесконечности, тоже стремится к бесконечности. Значит, теоретически верхний кирпич можно сдвинуть без потери равновесия на какое угодно расстояние.
Реально необходимо учесть неточность в изготовлении кирпичей и их установки по заданному алгоритму. Если положить общую неточность порядка 0,4 см, то число кирпичей, участвующих в смещении, может быть порядка 30, а кирпич 1 при этом смещается на две свои длины. (Элементарно можно изготовить, например, вход в здание шириной около метра и высотой около двух метров.) При наличии четырех кирпичей верхний кирпич можно сместить относительно края стола на 1,04 длины кирпича.
