Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10320
2019-05-10 
Однородный стержень массой $m$ и длиной $L$ находится в горизонтальном положении, опираясь концами на два моих указательных пальца. Пока я медленно сдвигаю пальцы, чтобы они встретились под центром стержня, он скользит либо по одному, либо по другому пальцу. Какую работу я должен совершить в течение всего процесса, если даны коэффициенты трения покоя $\mu$ и трения скольжения $\mu_{ск}$ ( $\mu_{ск} < \mu$ )?
Решение:
Из статического условия равновесия стержня (суммарная вертикальная сила и суммарный крутящий момент равны нулю) найдем силы реакции со стороны пальцев на расстояниях х и у от центра масс стержня О (рис.):
$F_{x} = \frac{mgy}{x + y}, F_{y} = \frac{mgx}{x + y}$.
Предположим, что стержень сначала скользит на моем левом пальце. В любой момент сила трения $F_{тр}$, действующая на этот палец, определяется формулой
$F_{тр} = \mu_{ск} F_{x} = \mu_{ск} mg \frac{y}{x + y}$,
где $\mu_{ск}$ - коэффициент трения при скольжении (кинетический коэффициент трения), он всегда чуть меньше коэффициента трения покоя $\mu$ (просто коэффициент трения). Для медленного движения (горизонтальное ускорение пренебрежимо мало) эта сила равна статической силе трения, действующей на правый палец, которая имеет максимальное значение
$\mu F_{y} = \mu mg \frac{x}{x + y}$.
Таким образом, левый палец может скользить до тех пор, пока
$\mu_{ск} y \leq \mu x$, т.е. $x \geq ky$,
где $k = \mu_{ск}/ \mu \leq 1$. Первоначально $x_{0} = y_{0} = l/2$, так что мой левый палец движется к положению $x = x_{1} = \frac{kl}{2}$, работая против непрерывно изменяющейся силы трения. Работу $A( x_{0} \rightarrow x_{1})$, проделанную в течение этого скольжения, можно найти при помощи интегрирования функции $- \mu_{ск}F_{x} = - \mu_{ск} mg \frac{ \frac{l}{2} }{x + \frac{l}{2} }$ в пределах от $x_{0} = l/2$ до $x_{1} = kl/2$:
$A( x_{0} \rightarrow x_{1} ) = - \mu_{ск} mg \int \frac{ \frac{l}{2} }{x + \frac{l}{2} } dx = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} ln \frac{2}{k+ 1}$.
На второй стадии скользит мой правый палец, при этом $x$ равен $x_{1}$ и постоянен, а $y$ изменяется от $l/2$ до $y_{1} = kx_{1} = \frac{k^{2}l}{2}$. Работа $A(y_{0} \rightarrow y_{1})$ в этом случае будет равна интегралу от функции $- \mu_{ск} mg \frac{x_{1}}{x_{1} + y}$ в пределах от $y_{0} = l/2$ до $y_{1} = \frac{k^{2}l}{2}$:
$A(y_{0} \rightarrow y_{1} ) = - \mu_{ск} mg \int \frac{x_{1} }{x_{1} + y } dy = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} k ln \frac{1}{k}$.
Подобным же образом мы можем вычислять работу в течение всех последующих стадий, когда стержень скользит поочередно то на левом, то на правом пальце. Полная работа будет равна
$A = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} \left ( ln \frac{2}{k + 1} + (k + k^{2} +k^{3} + \cdots ) ln \frac{1}{k} \right ) = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} \left ( ln \frac{2}{k + 1} + \frac{k}{1 - k} ln \frac{1}{k} \right )$.
Если $\mu_{ск} \ll \mu$ (т.е. $k \ll 1$), то работа совершается только в одну стадию и равна
$A = \frac{1}{2} \mu_{ск} mgl ln 2$.
С другой стороны, если $\mu = \mu_{ск}$ (т.е. $k \approx 1$ ), то
$\frac{k}{1 - k} ln \frac{1}{k} \approx 1$,
откуда
$A = \frac{1}{2} \mu_{ск} mgl$.
Однородный стержень массой $m$ и длиной $L$ находится в горизонтальном положении, опираясь концами на два моих указательных пальца. Пока я медленно сдвигаю пальцы, чтобы они встретились под центром стержня, он скользит либо по одному, либо по другому пальцу. Какую работу я должен совершить в течение всего процесса, если даны коэффициенты трения покоя $\mu$ и трения скольжения $\mu_{ск}$ ( $\mu_{ск} < \mu$ )?
Решение:
Из статического условия равновесия стержня (суммарная вертикальная сила и суммарный крутящий момент равны нулю) найдем силы реакции со стороны пальцев на расстояниях х и у от центра масс стержня О (рис.):
$F_{x} = \frac{mgy}{x + y}, F_{y} = \frac{mgx}{x + y}$.
Предположим, что стержень сначала скользит на моем левом пальце. В любой момент сила трения $F_{тр}$, действующая на этот палец, определяется формулой
$F_{тр} = \mu_{ск} F_{x} = \mu_{ск} mg \frac{y}{x + y}$,
где $\mu_{ск}$ - коэффициент трения при скольжении (кинетический коэффициент трения), он всегда чуть меньше коэффициента трения покоя $\mu$ (просто коэффициент трения). Для медленного движения (горизонтальное ускорение пренебрежимо мало) эта сила равна статической силе трения, действующей на правый палец, которая имеет максимальное значение
$\mu F_{y} = \mu mg \frac{x}{x + y}$.
Таким образом, левый палец может скользить до тех пор, пока
$\mu_{ск} y \leq \mu x$, т.е. $x \geq ky$,
где $k = \mu_{ск}/ \mu \leq 1$. Первоначально $x_{0} = y_{0} = l/2$, так что мой левый палец движется к положению $x = x_{1} = \frac{kl}{2}$, работая против непрерывно изменяющейся силы трения. Работу $A( x_{0} \rightarrow x_{1})$, проделанную в течение этого скольжения, можно найти при помощи интегрирования функции $- \mu_{ск}F_{x} = - \mu_{ск} mg \frac{ \frac{l}{2} }{x + \frac{l}{2} }$ в пределах от $x_{0} = l/2$ до $x_{1} = kl/2$:
$A( x_{0} \rightarrow x_{1} ) = - \mu_{ск} mg \int \frac{ \frac{l}{2} }{x + \frac{l}{2} } dx = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} ln \frac{2}{k+ 1}$.
На второй стадии скользит мой правый палец, при этом $x$ равен $x_{1}$ и постоянен, а $y$ изменяется от $l/2$ до $y_{1} = kx_{1} = \frac{k^{2}l}{2}$. Работа $A(y_{0} \rightarrow y_{1})$ в этом случае будет равна интегралу от функции $- \mu_{ск} mg \frac{x_{1}}{x_{1} + y}$ в пределах от $y_{0} = l/2$ до $y_{1} = \frac{k^{2}l}{2}$:
$A(y_{0} \rightarrow y_{1} ) = - \mu_{ск} mg \int \frac{x_{1} }{x_{1} + y } dy = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} k ln \frac{1}{k}$.
Подобным же образом мы можем вычислять работу в течение всех последующих стадий, когда стержень скользит поочередно то на левом, то на правом пальце. Полная работа будет равна
$A = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} \left ( ln \frac{2}{k + 1} + (k + k^{2} +k^{3} + \cdots ) ln \frac{1}{k} \right ) = \mu_{ск} mg \frac{l}{2} \left ( ln \frac{2}{k + 1} + \frac{k}{1 - k} ln \frac{1}{k} \right )$.
Если $\mu_{ск} \ll \mu$ (т.е. $k \ll 1$), то работа совершается только в одну стадию и равна
$A = \frac{1}{2} \mu_{ск} mgl ln 2$.
С другой стороны, если $\mu = \mu_{ск}$ (т.е. $k \approx 1$ ), то
$\frac{k}{1 - k} ln \frac{1}{k} \approx 1$,
откуда
$A = \frac{1}{2} \mu_{ск} mgl$.
