Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1032
2016-09-17 
Для подтверждения своей водительской квалификации автомобилист должен выполнить следующее упражнение: за ограниченное время проехать расстояние $L = 50 м$ между точками 1 и 2, начав движение в точке 1 и остановившись в конце пути, в точке 2. Какое наименьшее время $t$ для этого необходимо, если наибольшая мощность, развиваемая двигателем автомобиля, $N = 80 кВт$, а тормозной путь автомобиля при скорости $v = 80 км/ч$ составляет $l_{т} = 50 м$? Масса автомобиля $m = 1000 кг$.
Решение:
Проанализируем движение автомобиля, которое, очевидно, должно состоять из двух этапов: разгона и торможения.
1) Торможение. Пусть в момент начала торможения автомобиль имеет скорость $v_{max}$. Тогда тормозной путь автомобиля при максимально возможном значении ускорения $a = \mu g$ равен $L_{торм} = \frac{v_{max}^{2}}{2a} = \frac{v_{max}^{2}}{2 \mu g}$, где $\mu$ — коэффициент трения между дорогой и колёсами автомобиля. Отсюда $v_{max} = \sqrt{2 \mu g L_{торм}}$.
2) Разгон. При разгоне автомобиль движется с максимально возможным ускорением $a = \mu g$ до тех пор, пока хватает мощности двигателя (первая стадия разгона). При этом, пройдя расстояние $L_{1}$, он приобретает скорость $v_{1} = \sqrt{2 \mu gL_{1}}$. Далее с ростом скорости ускорение при постоянной мощности двигателя будет постепенно уменьшаться (вторая стадия разгона). Для того, чтобы определить, на какой из этих двух стадий разгон нужно прекратить, найдём коэффициент трения. Это можно сделать, используя данные, приведённые в условии, и воспользовавшись теоремой об изменении кинетической энергии: $mv^{2}/2 \mu mgl_{т}$. Отсюда, полагая $g = 9,8 м/с^{2}$, имеем: $\mu = \frac{v^{2}}{2gl_{т}} \approx 0,50$.
Разгон необходимо прекратить, когда оставшееся расстояние до точки 2 будет равно тормозному пути; $L — L_{1} = L_{торм}$. Ясно, что если разгон кончается на первой стадии, то есть ускорение при разгоне равно ускорению при торможении, то торможение придётся начинать на середине дистанции, и $L_{1} = L_{торм} = L/2$. В этом случае $v_{max} = \sqrt{ \mu gL} \approx 15,6 м/с$. В то же время максимальная скорость, которой может достичь автомобиль на первой стадии разгона, равна $v_{1} = \frac{N}{ \mu mg} \approx 16,3 м/с > v_{max}$, так что разгон действительно нужно прекращать на первой стадии. При этом время $t_{1/2}$, необходимое для прохождения половины дистанции, можно найти из условия: $\frac{L}{2} = \frac{ \mu g t_{1/2}^{2}}{2}$. Отсюда наименьшее время, необходимое автомобилю для прохождения всей дистанции при условиях задачи, равно
$t = 2t_{1/2} = 2 \sqrt{ \frac{L}{ \mu g}} = \frac{2}{v} \sqrt{2 l_{т}L} \approx 6,4 с$.
Для подтверждения своей водительской квалификации автомобилист должен выполнить следующее упражнение: за ограниченное время проехать расстояние $L = 50 м$ между точками 1 и 2, начав движение в точке 1 и остановившись в конце пути, в точке 2. Какое наименьшее время $t$ для этого необходимо, если наибольшая мощность, развиваемая двигателем автомобиля, $N = 80 кВт$, а тормозной путь автомобиля при скорости $v = 80 км/ч$ составляет $l_{т} = 50 м$? Масса автомобиля $m = 1000 кг$.
Решение:
Проанализируем движение автомобиля, которое, очевидно, должно состоять из двух этапов: разгона и торможения.
1) Торможение. Пусть в момент начала торможения автомобиль имеет скорость $v_{max}$. Тогда тормозной путь автомобиля при максимально возможном значении ускорения $a = \mu g$ равен $L_{торм} = \frac{v_{max}^{2}}{2a} = \frac{v_{max}^{2}}{2 \mu g}$, где $\mu$ — коэффициент трения между дорогой и колёсами автомобиля. Отсюда $v_{max} = \sqrt{2 \mu g L_{торм}}$.
2) Разгон. При разгоне автомобиль движется с максимально возможным ускорением $a = \mu g$ до тех пор, пока хватает мощности двигателя (первая стадия разгона). При этом, пройдя расстояние $L_{1}$, он приобретает скорость $v_{1} = \sqrt{2 \mu gL_{1}}$. Далее с ростом скорости ускорение при постоянной мощности двигателя будет постепенно уменьшаться (вторая стадия разгона). Для того, чтобы определить, на какой из этих двух стадий разгон нужно прекратить, найдём коэффициент трения. Это можно сделать, используя данные, приведённые в условии, и воспользовавшись теоремой об изменении кинетической энергии: $mv^{2}/2 \mu mgl_{т}$. Отсюда, полагая $g = 9,8 м/с^{2}$, имеем: $\mu = \frac{v^{2}}{2gl_{т}} \approx 0,50$.
Разгон необходимо прекратить, когда оставшееся расстояние до точки 2 будет равно тормозному пути; $L — L_{1} = L_{торм}$. Ясно, что если разгон кончается на первой стадии, то есть ускорение при разгоне равно ускорению при торможении, то торможение придётся начинать на середине дистанции, и $L_{1} = L_{торм} = L/2$. В этом случае $v_{max} = \sqrt{ \mu gL} \approx 15,6 м/с$. В то же время максимальная скорость, которой может достичь автомобиль на первой стадии разгона, равна $v_{1} = \frac{N}{ \mu mg} \approx 16,3 м/с > v_{max}$, так что разгон действительно нужно прекращать на первой стадии. При этом время $t_{1/2}$, необходимое для прохождения половины дистанции, можно найти из условия: $\frac{L}{2} = \frac{ \mu g t_{1/2}^{2}}{2}$. Отсюда наименьшее время, необходимое автомобилю для прохождения всей дистанции при условиях задачи, равно
$t = 2t_{1/2} = 2 \sqrt{ \frac{L}{ \mu g}} = \frac{2}{v} \sqrt{2 l_{т}L} \approx 6,4 с$.
