Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10319
2019-05-10 
Частица массой $m$, имеющая электрический заряд $Q$, находится под воздействием однородного поля тяжести и однородного горизонтального электрического поля напряженностью $E$. Частица начинает движение со скоростью $v$ под углом $\theta$ к горизонту в вертикальной плоскости, параллельной электрическому полю. На какое максимальное расстояние может переместиться частица вдоль исходной горизонтали?
Решение:
Ускорения частицы в горизонтальном (х) и вертикальном (y) направлениях постоянны, поэтому зависимости координат от времени можно записать в виде
$x = vt \cos \theta + \frac{EQt^{2} }{2m}, y = vt \sin \theta - \frac{gt^{2} }{2}$,
считая, что горизонтальная составляющая начальной скорости сонаправлена с напряженностью электрического поля. Если положить $y = 0$, то исключение $t$ из уравнений приводит к уравнению для дальности, данному в подсказке:
$v \sin \theta - \frac{gt}{2} = 0, t = \frac{2}{g} v \sin \theta, a = \frac{EQ}{m}$,
$x = vt \cos \theta + \frac{at^{2} }{2} = \frac{2v^{2} }{g} \cos \theta \sin \theta + \frac{a}{g} \frac{2v^{2} }{g} \sin^{2} \theta = \frac{2v^{2} }{g} \left ( \cos \theta + \frac{a}{g} \sin \theta \right ) \sin \theta$.
При $\frac{dx}{dQ} = A \left ( - \sin \theta + \frac{a}{g} \cos \theta \right ) = 0$ получаем
$tg \theta = \frac{a}{g}$.
Это и есть оптимальный угол для получения максимального смещения $x_{m}$ частицы:
$x_{m} = \frac{2v^{2} }{g} \left ( \frac{1}{tg \theta} + \frac{a}{g} \right ) \sin^{2} \theta = \frac{2v^{2} }{g} \left ( \frac{g}{a} + \frac{a}{g} \right ) \sin^{2} \theta = \frac{2v^{2} }{g} \frac{a}{g} \left ( \left ( \frac{g}{a} \right )^{2} + 1 \right ) \sin^{2} \theta$.
Но $\sin^{2} \theta = \frac{tg^{2} \theta}{1 + tg^{2} \theta } = \frac{ \frac{a}{g} }{1 + \left ( \frac{a}{g} \right )^{2} }$. Подставив в $x_{m}$, получим
$x_{m} = \frac{2v^{2} }{g} \frac{a}{g} = \frac{2v^{2} }{g^{2} } \frac{EQ}{m}$.
Частица массой $m$, имеющая электрический заряд $Q$, находится под воздействием однородного поля тяжести и однородного горизонтального электрического поля напряженностью $E$. Частица начинает движение со скоростью $v$ под углом $\theta$ к горизонту в вертикальной плоскости, параллельной электрическому полю. На какое максимальное расстояние может переместиться частица вдоль исходной горизонтали?
Решение:
Ускорения частицы в горизонтальном (х) и вертикальном (y) направлениях постоянны, поэтому зависимости координат от времени можно записать в виде
$x = vt \cos \theta + \frac{EQt^{2} }{2m}, y = vt \sin \theta - \frac{gt^{2} }{2}$,
считая, что горизонтальная составляющая начальной скорости сонаправлена с напряженностью электрического поля. Если положить $y = 0$, то исключение $t$ из уравнений приводит к уравнению для дальности, данному в подсказке:
$v \sin \theta - \frac{gt}{2} = 0, t = \frac{2}{g} v \sin \theta, a = \frac{EQ}{m}$,
$x = vt \cos \theta + \frac{at^{2} }{2} = \frac{2v^{2} }{g} \cos \theta \sin \theta + \frac{a}{g} \frac{2v^{2} }{g} \sin^{2} \theta = \frac{2v^{2} }{g} \left ( \cos \theta + \frac{a}{g} \sin \theta \right ) \sin \theta$.
При $\frac{dx}{dQ} = A \left ( - \sin \theta + \frac{a}{g} \cos \theta \right ) = 0$ получаем
$tg \theta = \frac{a}{g}$.
Это и есть оптимальный угол для получения максимального смещения $x_{m}$ частицы:
$x_{m} = \frac{2v^{2} }{g} \left ( \frac{1}{tg \theta} + \frac{a}{g} \right ) \sin^{2} \theta = \frac{2v^{2} }{g} \left ( \frac{g}{a} + \frac{a}{g} \right ) \sin^{2} \theta = \frac{2v^{2} }{g} \frac{a}{g} \left ( \left ( \frac{g}{a} \right )^{2} + 1 \right ) \sin^{2} \theta$.
Но $\sin^{2} \theta = \frac{tg^{2} \theta}{1 + tg^{2} \theta } = \frac{ \frac{a}{g} }{1 + \left ( \frac{a}{g} \right )^{2} }$. Подставив в $x_{m}$, получим
$x_{m} = \frac{2v^{2} }{g} \frac{a}{g} = \frac{2v^{2} }{g^{2} } \frac{EQ}{m}$.
