Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10318
2019-05-10 
Фонтан состоит из маленького полусферического распылителя, который находится на поверхности воды в бассейне, как показано на рисунке. Распылитель имеет множество равномерно распределенных маленьких отверстий, через которые вода вытекает с одинаковой скоростью во всех направлениях. Какова форма водяного «колокола», сформированного струями?
Решение:
Водяной колокол цилиндрически симметричен относительно вертикальной оси, поэтому достаточно решить задачу, рассматривая его сечение.
Пусть точечный распылитель находится в начале декартовой системы координат (рис.). Тогда струи воды следуют по параболическим траекториям, начинающимся в начале координат, и наша математическая задача состоит в том, чтобы найти огибающую (показанную пунктиром на рисунке) к этому набору парабол.
Известно, что уравнение траектории тела, брошенного с начальной скоростью v под углом а к горизонту, записывается в виде
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2} }{2v^{2} \cos^{2} \alpha }$.
Это уравнение можно преобразовать к виду
$Xu^{2} - xu + (y + X) = 0$,
где $u = tg \alpha, X = \frac{gx^{2}}{2v^{2}}$. Если точка $(x,y)$ фиксирована, то это - квадратное уравнение для и, которое имеет действительное решение, если его дискриминант неотрицателен, т.е. если
$x^{2} - 4X (y + X) \geq 0$.
Так как нам интересен случай $x\ neq 0$, получаем условие
$y \leq \frac{1}{2} \left ( \frac{v^{2} }{g} - \frac{g}{v^{2} } x^{2} \right )$.
Это неравенство делит плоскость ху на две области, разделенные параболой. Вода может достигать точек под параболой (параболоид вращения - в трех измерениях), но не может быть выше ее. Ограничивающая парабола и есть искомая огибающая.
Итак, водяной колокол - это параболоид вращения. Из уравнения для ограничивающей кривой ясно, что высота колокола равна $\frac{v^{2}}{2g}$, чего можно было бы ожидать при рассмотрении движения тела, брошенного вертикально вверх. Водяной колокол определяет круг на поверхности воды в бассейне, радиус $r$ которого находится из условия $y = 0$, что дает $r = \frac{v^{2}}{g}$. Это означает, что диаметр бассейна должен быть, по крайней мере, в четыре раза больше высоты водяного колокола, чтобы не было потерь воды.
Фонтан состоит из маленького полусферического распылителя, который находится на поверхности воды в бассейне, как показано на рисунке. Распылитель имеет множество равномерно распределенных маленьких отверстий, через которые вода вытекает с одинаковой скоростью во всех направлениях. Какова форма водяного «колокола», сформированного струями?
Решение:
Водяной колокол цилиндрически симметричен относительно вертикальной оси, поэтому достаточно решить задачу, рассматривая его сечение.
Пусть точечный распылитель находится в начале декартовой системы координат (рис.). Тогда струи воды следуют по параболическим траекториям, начинающимся в начале координат, и наша математическая задача состоит в том, чтобы найти огибающую (показанную пунктиром на рисунке) к этому набору парабол.
Известно, что уравнение траектории тела, брошенного с начальной скоростью v под углом а к горизонту, записывается в виде
$y = x tg \alpha - \frac{gx^{2} }{2v^{2} \cos^{2} \alpha }$.
Это уравнение можно преобразовать к виду
$Xu^{2} - xu + (y + X) = 0$,
где $u = tg \alpha, X = \frac{gx^{2}}{2v^{2}}$. Если точка $(x,y)$ фиксирована, то это - квадратное уравнение для и, которое имеет действительное решение, если его дискриминант неотрицателен, т.е. если
$x^{2} - 4X (y + X) \geq 0$.
Так как нам интересен случай $x\ neq 0$, получаем условие
$y \leq \frac{1}{2} \left ( \frac{v^{2} }{g} - \frac{g}{v^{2} } x^{2} \right )$.
Это неравенство делит плоскость ху на две области, разделенные параболой. Вода может достигать точек под параболой (параболоид вращения - в трех измерениях), но не может быть выше ее. Ограничивающая парабола и есть искомая огибающая.
Итак, водяной колокол - это параболоид вращения. Из уравнения для ограничивающей кривой ясно, что высота колокола равна $\frac{v^{2}}{2g}$, чего можно было бы ожидать при рассмотрении движения тела, брошенного вертикально вверх. Водяной колокол определяет круг на поверхности воды в бассейне, радиус $r$ которого находится из условия $y = 0$, что дает $r = \frac{v^{2}}{g}$. Это означает, что диаметр бассейна должен быть, по крайней мере, в четыре раза больше высоты водяного колокола, чтобы не было потерь воды.
