Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10317
2019-05-10 
Прямая однородная тонкая соломинка покоится на гладкой доске. На каждом ее конце сидит по блохе. Покажите, что если масса $M$ соломинки не слишком большая по сравнению с массой $m$ каждой из блох, то они могут одновременными прыжками с одинаковыми скоростью и углом взлета перепрыгнуть с одного конца соломинки на другой без столкновения друг с другом в воздухе.
Решение:
Если смотреть сверху, то картина должна выглядеть так, как показано на рисунке. Блохи прыгают в направлениях, составляющих углы $\frac{ \pi - \theta}{2}$ с начальным положением соломинки. Соломинка, отреагировав на пару сил при толчке блох, должна вращаться в противоположном направлении с такой скоростью, чтобы к моменту приземления блох повернуться хотя бы на угол $\pi - \theta$. В этом случае блохи приземлятся на противоположные концы соломинки по отношению к тем, с которых прыгали.
Пусть $v$ и $\alpha$ - скорость и угол взлета соответственно, $2L$ - длина соломинки. Тогда время полета $t$ определяется, как обычно, по формуле $t = \frac{2v \sin \alpha}{g}$, а расстояние $s$ по горизонтали - по формуле $s = vt \cos \alpha$. Геометрически расстояние $s$ должно быть равно $2L \sin ( \theta/2)$. При симметричном толчке соломинка приобретает момент импульса, который равен сумме горизонтальных проекций моментов импульсов блох. Таким образом,
$2mvL \cos \alpha \cos \frac{ \theta}{2} = I \omega$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения, $I = \frac{ML^{2}}{3}$ - момент инерции соломинки, $M$ - ее масса. По условию задачи,
$\omega t = \pi - \theta$.
Исключение $\alpha, t$ и $\omega$ из уравнений, полученных ранее, приводит к тому, что угол $\theta$ должен удовлетворять уравнению
$\frac{6m}{M} \sin \theta + \theta = \pi$.
Если $m > M/6$, то уравнение имеет решение, которое легко найти из пересечения графика функции $y_{1} = \frac{6m}{M} \sin \theta$ с графиком функции $y_{2} = ( \pi - \theta )$ (рис.).
Примечание. Функция $f( \theta) = n \sin \theta + \theta$ имеет такое свойство: $f ( \pi ) = \pi$ , каким бы ни было значение $n$. Кроме того, уравнение для производной $f^{ \prime} ( \theta) = n \cos \theta + 1 = 0$ имеет решение при $0 < \theta < \pi$ и $n > 1$. Таким образом, если $n$ строго больше единицы, то $f( \theta)$ имеет максимум и строго меньше чем $\pi$. Суммируя сказанное, получаем, что при $n > 1$ функция $f( \theta) = \pi$ имеет решение для некоторого значения $\theta$, строго меньше чем $\pi$. В контексте вопроса это условие означает, что $m > \frac{M}{6}$, что и показано на рисунке.
Прямая однородная тонкая соломинка покоится на гладкой доске. На каждом ее конце сидит по блохе. Покажите, что если масса $M$ соломинки не слишком большая по сравнению с массой $m$ каждой из блох, то они могут одновременными прыжками с одинаковыми скоростью и углом взлета перепрыгнуть с одного конца соломинки на другой без столкновения друг с другом в воздухе.
Решение:
Если смотреть сверху, то картина должна выглядеть так, как показано на рисунке. Блохи прыгают в направлениях, составляющих углы $\frac{ \pi - \theta}{2}$ с начальным положением соломинки. Соломинка, отреагировав на пару сил при толчке блох, должна вращаться в противоположном направлении с такой скоростью, чтобы к моменту приземления блох повернуться хотя бы на угол $\pi - \theta$. В этом случае блохи приземлятся на противоположные концы соломинки по отношению к тем, с которых прыгали.
Пусть $v$ и $\alpha$ - скорость и угол взлета соответственно, $2L$ - длина соломинки. Тогда время полета $t$ определяется, как обычно, по формуле $t = \frac{2v \sin \alpha}{g}$, а расстояние $s$ по горизонтали - по формуле $s = vt \cos \alpha$. Геометрически расстояние $s$ должно быть равно $2L \sin ( \theta/2)$. При симметричном толчке соломинка приобретает момент импульса, который равен сумме горизонтальных проекций моментов импульсов блох. Таким образом,
$2mvL \cos \alpha \cos \frac{ \theta}{2} = I \omega$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения, $I = \frac{ML^{2}}{3}$ - момент инерции соломинки, $M$ - ее масса. По условию задачи,
$\omega t = \pi - \theta$.
Исключение $\alpha, t$ и $\omega$ из уравнений, полученных ранее, приводит к тому, что угол $\theta$ должен удовлетворять уравнению
$\frac{6m}{M} \sin \theta + \theta = \pi$.
Если $m > M/6$, то уравнение имеет решение, которое легко найти из пересечения графика функции $y_{1} = \frac{6m}{M} \sin \theta$ с графиком функции $y_{2} = ( \pi - \theta )$ (рис.).
Примечание. Функция $f( \theta) = n \sin \theta + \theta$ имеет такое свойство: $f ( \pi ) = \pi$ , каким бы ни было значение $n$. Кроме того, уравнение для производной $f^{ \prime} ( \theta) = n \cos \theta + 1 = 0$ имеет решение при $0 < \theta < \pi$ и $n > 1$. Таким образом, если $n$ строго больше единицы, то $f( \theta)$ имеет максимум и строго меньше чем $\pi$. Суммируя сказанное, получаем, что при $n > 1$ функция $f( \theta) = \pi$ имеет решение для некоторого значения $\theta$, строго меньше чем $\pi$. В контексте вопроса это условие означает, что $m > \frac{M}{6}$, что и показано на рисунке.
