Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10316
2019-05-10 
Ствол дерева диаметром $D = 20 см$ лежит на горизонтальной земле. Ленивый кузнечик хочет перепрыгнуть через ствол. Найдите минимальную скорость прыжка кузнечика, чтобы он смог осуществить свой замысел. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
Траектория кузнечика - это парабола, которая касается ствола в симметрично расположенных точках $B$ и $B^{*}$ на двух сторонах ствола (рис.). Кузнечик удаляется от точки А с начальной скоростью $v_{1}$ под углом $\theta$ к горизонту. В точках касания $B$ и $B^{*}$ скорость кузнечика $v_{2}$ составляет угол $\beta$ с горизонталью.
Ради простоты мы выберем $\beta$ в качестве независимой переменной задачи. Тогда в точке В вертикальная составляющая скорости равна
$v_{2} \sin \beta = gt_{2}$,
где $t_{2}$ - время полета на участке ВС траектории (С - максимальная точка подъема, максимум параболы). Соответствующее горизонтальное перемещение BF равно
$v_{2}t_{2} \cos \beta = R \sin \beta$.
После перемножения этих двух уравнений получаем
$v_{2}^{2} = \frac{gR}{ \cos \beta}$.
Закон сохранения энергии при полете между точками А и В дает
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} = \frac{mv_{2}^{2} }{2} + mg (R + R \cos \beta)$,
или
$v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2gR (1 + \cos \beta) = \frac{gR}{ \cos \beta } + 2gR (1 + \cos \beta)$.
Мы получили выражение для начальной скорости в виде
$v_{1}^{2} = 2 gR \left ( 1 + \cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} \right )$
и можем вычислить минимальное значение $v_{1}$, используя дифференциальное исчисление. Приравняв производную $d \frac{1 + \cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} }{d \beta}$ к нулю, получаем $\cos^{2} \beta = \frac{1}{2}$. Таким образом, минимальный угол, который дает минимум начальной скорости, равен $45^{ \circ}$.
Однако имеется и другой метод, который использует неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. В нашем случае мы можем записать
$\frac{1}{2} \left ( \cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} \right ) \geq \sqrt{ \cos \beta \frac{1}{2 \cos \beta} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$,
так что минимальное значение суммы $\cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta}$ равно $\sqrt{2}$, откуда следует, что $\beta = 45^{ \circ}$.
Это и есть угол, под которым кузнечик касается бревна при полете в оптимальном случае. Если допустить, что $\beta = 0$, то потребуется большая начальная скорость, так как $\cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} = 1,5 > \sqrt{2}$. Из этого следует, что траектория с минимальной начальной скоростью не касается ствола в его самой высокой точке (точка Е). Гравитационная потенциальная энергия кузнечика больше на пике параболы, чем в высшей точке ствола, но его кинетическая энергия и полная энергия меньше, чем они были бы для траектории, касающейся вершины.
Таким образом, минимальная начальная скорость кузнечика равна
$v_{1min} = \sqrt{2gR(1 + \sqrt{2})} \approx 2,2 м/с$.
Примечания. а) Можно показать, что часть параболической траектории над точкой В не пересекает ствол.
6) Довольно легко определить также угол $\theta$ начального прыжка и расстояние AD. Расчеты дают
$\theta \geq \frac{3 \pi}{8} = 67,5^{ \circ}, AD = R \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \approx 17 см$.
в) Обратите внимание на то, что точка $F$ является фокусом параболы.
Ствол дерева диаметром $D = 20 см$ лежит на горизонтальной земле. Ленивый кузнечик хочет перепрыгнуть через ствол. Найдите минимальную скорость прыжка кузнечика, чтобы он смог осуществить свой замысел. Сопротивление воздуха не учитывать.
Решение:
Траектория кузнечика - это парабола, которая касается ствола в симметрично расположенных точках $B$ и $B^{*}$ на двух сторонах ствола (рис.). Кузнечик удаляется от точки А с начальной скоростью $v_{1}$ под углом $\theta$ к горизонту. В точках касания $B$ и $B^{*}$ скорость кузнечика $v_{2}$ составляет угол $\beta$ с горизонталью.
Ради простоты мы выберем $\beta$ в качестве независимой переменной задачи. Тогда в точке В вертикальная составляющая скорости равна
$v_{2} \sin \beta = gt_{2}$,
где $t_{2}$ - время полета на участке ВС траектории (С - максимальная точка подъема, максимум параболы). Соответствующее горизонтальное перемещение BF равно
$v_{2}t_{2} \cos \beta = R \sin \beta$.
После перемножения этих двух уравнений получаем
$v_{2}^{2} = \frac{gR}{ \cos \beta}$.
Закон сохранения энергии при полете между точками А и В дает
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} = \frac{mv_{2}^{2} }{2} + mg (R + R \cos \beta)$,
или
$v_{1}^{2} = v_{2}^{2} + 2gR (1 + \cos \beta) = \frac{gR}{ \cos \beta } + 2gR (1 + \cos \beta)$.
Мы получили выражение для начальной скорости в виде
$v_{1}^{2} = 2 gR \left ( 1 + \cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} \right )$
и можем вычислить минимальное значение $v_{1}$, используя дифференциальное исчисление. Приравняв производную $d \frac{1 + \cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} }{d \beta}$ к нулю, получаем $\cos^{2} \beta = \frac{1}{2}$. Таким образом, минимальный угол, который дает минимум начальной скорости, равен $45^{ \circ}$.
Однако имеется и другой метод, который использует неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. В нашем случае мы можем записать
$\frac{1}{2} \left ( \cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} \right ) \geq \sqrt{ \cos \beta \frac{1}{2 \cos \beta} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}$,
так что минимальное значение суммы $\cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta}$ равно $\sqrt{2}$, откуда следует, что $\beta = 45^{ \circ}$.
Это и есть угол, под которым кузнечик касается бревна при полете в оптимальном случае. Если допустить, что $\beta = 0$, то потребуется большая начальная скорость, так как $\cos \beta + \frac{1}{2 \cos \beta} = 1,5 > \sqrt{2}$. Из этого следует, что траектория с минимальной начальной скоростью не касается ствола в его самой высокой точке (точка Е). Гравитационная потенциальная энергия кузнечика больше на пике параболы, чем в высшей точке ствола, но его кинетическая энергия и полная энергия меньше, чем они были бы для траектории, касающейся вершины.
Таким образом, минимальная начальная скорость кузнечика равна
$v_{1min} = \sqrt{2gR(1 + \sqrt{2})} \approx 2,2 м/с$.
Примечания. а) Можно показать, что часть параболической траектории над точкой В не пересекает ствол.
6) Довольно легко определить также угол $\theta$ начального прыжка и расстояние AD. Расчеты дают
$\theta \geq \frac{3 \pi}{8} = 67,5^{ \circ}, AD = R \left ( 1 + \frac{ \sqrt{2} }{2} \right ) \approx 17 см$.
в) Обратите внимание на то, что точка $F$ является фокусом параболы.
