ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-10   
Под каким углом к горизонту нужно бросить камень, чтобы он при движении все время удалялся от бросающего?


Решение:



Используя систему координат, показанную на рисунке, движение камня можно описать следующими уравнениями:

$x = v_{0}t \cos \alpha$,
$y = v_{0}t \sin \alpha - \frac{gt^{2} }{2}$,
$v_{x} = v_{0} \cos \alpha$,
$v_{y} = v_{0} \sin \alpha - gt$.

Камень находится на самом большом расстоянии от начального положения, когда его скорость перпендикулярна его радиусу-вектору. Это означает, что в этот момент

$\frac{y}{x} = - \frac{v_{x} }{v_{y} }$.

В результате получаем квадратное уравнение относительно момента времени $t$, когда это происходит:

$g^{2}t^{2} - (3gv_{0} \sin \alpha )t + 2v_{0}^{2} = 0$.

Для достижения максимального угла необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю, т.е.

$(3gv_{0} \sin \alpha_{max} )^{2} - 8g^{2}v_{0}^{2} = 0$,

или

$\sin \alpha_{max} = \sqrt{ \frac{8}{9} }$.

Отсюда находим максимальный угол бросания:

$\alpha_{max} = arcsin 0,94 = 70,5^{ \circ}$.

Таким образом, для того чтобы камень постоянно удалялся от бросающего, угол бросания должен быть меньше $70,5^{ \circ}$.