Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10313
2019-05-10 
Точка $P$, расположенная над наклонной плоскостью, соединяется отрезком прямого тонкого стержня с некоторой точкой $P^{ \prime}$ на наклонной плоскости. Маленькое кольцо может скользить по этому стержню без трения из точки $P$ в точку $P^{ \prime}$. Как должна быть выбрана точка $P^{ \prime}$, чтобы время движения кольца было минимальным?
Решение:
Рассмотрим две траектории, изображенные на рисунке. При движении в вертикальном направлении ускорение равно ускорению свободного падения $g$, что явно больше, чем для наклонного пути. Но длина вертикального пути тоже больше пути наклонного. Можно предположить, что кратчайший по времени путь находится где-то между этими двумя прямыми.
Теперь докажем следующее вспомогательное утверждение (теорема Галилея): координаты всех тел, начинающих одновременное движение в поле силы тяжести без трения по прямым желобам под разными наклонами к горизонту из одной точки P, лежат на сфере в любой момент времени $t > 0$.
Как показано на рисунке, центр окружности (это сечение сферической поверхности) лежит на вертикали, а самая высокая точка окружности является начальной точкой движения Р. Пусть прошло время $t$, и расстояние, пройденное телом по вертикали, определяет длину диаметра $d$ окружности: $d = \frac{gt^{2}}{2}$. Пусть теперь другое тело перемещается по наклонной прямой под углом $\alpha$ к вертикали. Тогда, имея ускорение $a = g \cos \alpha$, оно проходит за то же время расстояние $d_{1} = g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2} = d \cos \alpha$. Но расстояние $d_{1}$ точно равно длине хорды окружности. Таким образом, независимо от $\alpha$, всякое тело окажется в соответствующей точке окружности, которая определяется временем падения тела по вертикали. Утверждение доказано.
Теперь понятна геометрия поставленной задачи. Нужно построить окружность, проходящую через точку $P$ и касающуюся заданной наклонной плоскости (с заданным углом наклона $\alpha$ ) в некоторой точке $P^{ \prime}$, a центр этой окружности должен лежать на вертикали под точкой $P$. Тогда прямая $PP^{ \prime}$ и будет искомой. Рисунок сделан на основе этих рассуждений. Из него с очевидностью понятно, что тело, двигающееся по прямой под углом $\alpha /2$ к вертикали, достигнет наклонной плоскости за самое короткое время.
Точка $P$, расположенная над наклонной плоскостью, соединяется отрезком прямого тонкого стержня с некоторой точкой $P^{ \prime}$ на наклонной плоскости. Маленькое кольцо может скользить по этому стержню без трения из точки $P$ в точку $P^{ \prime}$. Как должна быть выбрана точка $P^{ \prime}$, чтобы время движения кольца было минимальным?
Решение:
Рассмотрим две траектории, изображенные на рисунке. При движении в вертикальном направлении ускорение равно ускорению свободного падения $g$, что явно больше, чем для наклонного пути. Но длина вертикального пути тоже больше пути наклонного. Можно предположить, что кратчайший по времени путь находится где-то между этими двумя прямыми.
Теперь докажем следующее вспомогательное утверждение (теорема Галилея): координаты всех тел, начинающих одновременное движение в поле силы тяжести без трения по прямым желобам под разными наклонами к горизонту из одной точки P, лежат на сфере в любой момент времени $t > 0$.
Как показано на рисунке, центр окружности (это сечение сферической поверхности) лежит на вертикали, а самая высокая точка окружности является начальной точкой движения Р. Пусть прошло время $t$, и расстояние, пройденное телом по вертикали, определяет длину диаметра $d$ окружности: $d = \frac{gt^{2}}{2}$. Пусть теперь другое тело перемещается по наклонной прямой под углом $\alpha$ к вертикали. Тогда, имея ускорение $a = g \cos \alpha$, оно проходит за то же время расстояние $d_{1} = g \cos \alpha \cdot \frac{t^{2}}{2} = d \cos \alpha$. Но расстояние $d_{1}$ точно равно длине хорды окружности. Таким образом, независимо от $\alpha$, всякое тело окажется в соответствующей точке окружности, которая определяется временем падения тела по вертикали. Утверждение доказано.
Теперь понятна геометрия поставленной задачи. Нужно построить окружность, проходящую через точку $P$ и касающуюся заданной наклонной плоскости (с заданным углом наклона $\alpha$ ) в некоторой точке $P^{ \prime}$, a центр этой окружности должен лежать на вертикали под точкой $P$. Тогда прямая $PP^{ \prime}$ и будет искомой. Рисунок сделан на основе этих рассуждений. Из него с очевидностью понятно, что тело, двигающееся по прямой под углом $\alpha /2$ к вертикали, достигнет наклонной плоскости за самое короткое время.
