2016-09-17
Гоночный автомобиль имеет привод на все четыре колеса. Его двигатель выдаёт максимальную мощность $N = 60 кВт$ при любой скорости движения. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислите время разгона этого автомобиля от старта до скорости $v = 20 м/с$. Масса автомобиля $m = 1 т$, коэффициент трения между колёсами и дорожным покрытием не зависит от скорости и равен $\mu = 0,6$.
Решение:
Разгон автомобиля будет проходить в два этапа. На первом этапе колёса автомобиля будут проскальзывать, часть развиваемой двигателем мощности будет превращаться в тепло, а остальная — уходить на его разгон. При этом автомобиль будет двигаться с постоянным ускорением, величина которого определяется величиной силы трения скольжения: $a = \mu mg /n = \mu g$.
Так будет продолжаться до тех пор, пока мощность двигателя не станет равна мощности силы трения $N = \mu mg u$, где $\mu = \frac{N}{ \mu mg} \approx 10 м/с$ — скорость автомобиля, при которой прекратится проскальзывание колёс. Этой скорости автомобиль достигнет за время $\Delta t_{1} = \frac{u}{a} = \frac{N}{m ( \mu g)^{2}} \approx 1,7 с$.
На втором этапе проскальзывания колёс не будет, и вся мощность двигателя будет расходоваться на разгон автомобиля, то есть превращаться в его кинетическую энергию. Из закона изменения механической энергии можно найти время $\Delta t_{2}$, за которое автомобиль разгонится от скорости $u$ до скорости $v$: $N \Delta t_{2} = \frac{mv^{2}}{2} - \frac{mu^{2}}{2}$, откуда
$\Delta t_{2} = \frac{m(v^{2}-u^{2})}{2N} = \frac{m}{2N} \left ( v^{2} - \frac{N^{2}}{( \mu mg)^{2}} \right ) \approx 2,5 с$.
В итоге полное время разгона автомобиля от старта до скорости $v = 20 м/с$ составляет
$\Delta t = \Delta t_{1} + \Delta t_{2} = \frac{N}{m( \mu g)^{2}} + \frac{m}{2N} \left ( v^{2} - \frac{N^{2}}{( \mu mg)^{2}} \right ) = \frac{N}{2m( \mu g)^{2}} + \frac{mv^{2}}{2N} \approx 4,2 c$.