Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10305
2019-05-10 
Круглое отверстие радиусом $r$ в дне сосуда, первоначально заполненного водой, для герметизации закрыто шаром массой $m$ и радиусом $R > r$ (рис.). Уровень воды теперь медленно понижают, и, когда он достигает некоторого значения $h_{0}$, шар поднимается над отверстием. Найдите $h_{0}$.
Решение:
Сделаем некоторые замечания:
1) Плотность $\rho_{ш}$ материала шара должна быть меньше плотности $\rho$ воды, иначе он сам ни при каких обстоятельствах всплыть не может. Отсюда следует, что $m < \rho V_{0}$, где $V_{0}$ - полный объем шара.
2) Чем меньше плотность $\rho_{ш}$ материала шара, тем меньше толщина $h$ слоя воды, которая сможет удержать его внизу.
3) Поверхность воды может быть как ниже выступающей части шара над уровнем отверстия ($\rho_{ш}$ существенно меньше $\rho$), так и выше шара ( $\rho_{ш}$ немного меньше $\rho$).
Рассмотрим силы, действующие на шар. Это сила тяжести $mg$, выталкивающая сила воды $F$ и нормальная сила реакции $N$ со стороны краев отверстия. Когда выталкивающая сила сравняется с силой тяжести, нормальная сила реакции станет нулевой, и шар оторвется от дна.
Выталкивающая сила, действующая на шар, полностью находящийся в воде, равна $F_{0} = \rho gV_{0}$. В нашем случае из этой силы необходимо исключить выталкивающую силу, которая действовала бы на нижний шаровой сегмент, находящийся ниже отверстия вне воды, и силу, которая действовала бы на нижнюю плоскость шара без этого сегмента, зависящую от толщины $h$ слоя воды над этой плоскостью. Таким образом, если толщина $h$ слоя воды больше $R + \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ (рис.), то выталкивающая сила $F$ будет равна
$F = F_{0} - \rho gV_{н} - \rho gh \pi r^{2}$,
где $V_{н}$ - объем нижнего сегмента, свободного от воды.
Условие равновесия шара у отверстия можно записать в виде
$N = (F_{0} - \rho gV_{н} - \rho gh \pi r^{2} ) - mg$.
В момент отрыва шара от отверстия $N = 0$, т.е.
$mg = F_{0} - \rho gV_{н} - \rho g h_{0} \pi r^{2}$.
Отсюда находим толщину $h_{0}$ слоя воды в момент отрыва шара:
$h_{0} = \frac{ \rho V_{0} - \rho V_{н} - m }{ \rho \pi r^{2} }$.
Для очень легкого шара необходимо учесть убыль объема $V_{в}$ верхнего сегмента, выступающего над поверхностью воды (рис.). Moмент отрыва шара в этом случае описывается уравнением
$mg = F_{0} - \rho gV_{н} - \rho gV_{в} - \rho gh_{0} \pi r^{2}$,
где объем $V_{в}$ тоже зависит от толщины $h_{0}$ слоя воды. Из-за этого решение уравнения относительно $h_{0}$ существенно усложняется (как увидим ниже, это кубическое уравнение).
Объем нижнего шарового сегмента (при толщине сегмента меньше $R$) равен
$V_{н} = \frac{ \pi}{3} \left ( 2R^{3} - (2R^{2} + r^{2}) \sqrt{R^{2} - r^{2}} \right )$.
Полезно ввести высоту $l$ центра шара над плоскостью отверстия:
$l = \sqrt{R^{2} - r^{2} }$,
тогда предыдущая формула упростится:
$V_{н} = \frac{ \pi}{3} \left ( 2R^{3} - l(2R^{2} + r^{2}) \right )$.
Аналогично, объем $V_{в}$ верхнего шарового сегмента равен
$V_{в} = \frac{ \pi}{3} \left ( 2R^{3} - l_{в}(2R^{2} + r_{в}^{2}) \right )$,
где
$r_{в}^{2} = R^{2} - l_{в}^{2}$, а $l_{в} = h - l = h \sqrt{R^{2} - r^{2}}$.
Для анализа результатов рассмотрим зависимость выталкивающей силы $F$ от толщины $h$ слоя воды в преобразованном виде:
$F(h) = \frac{ \pi \rho g}{3} \left ( 3l^{2} (h - l) + 2l^{3} - (h - l)^{3} \right )$, если $h \leq l + R$,
и
$F(h) = \frac{ \pi \rho g}{3} \left( 2 (R^{2} + l^{3}) - 3(h - l)(R^{2} - l^{2}) \right )$, если $h \geq l + R$.
График функции $F(h)$ показан на рисунке. Первая часть функции - это кривая третьего порядка, имеющая максимум при $h = 2l$, вторая - прямая с отрицательным наклоном. Одна линия переходит в другую при $h = R + l$.
График $F(h)$ позволяет определить толщину слоя воды, при которой всплывает конкретный шар при любых условиях, будь он очень легкий или тяжелый. Для этого достаточно провести горизонталь с ординатой, равной силе тяжести заданного шара. При этом получаем две точки пересечения. Ясно, что слева от точки А и справа от точки В шар не всплывает, на отрезке АВ шар невозможно удержать в отверстии. Если шар имеет массу, большую ординаты точки С, то он вообще не всплывает.
Круглое отверстие радиусом $r$ в дне сосуда, первоначально заполненного водой, для герметизации закрыто шаром массой $m$ и радиусом $R > r$ (рис.). Уровень воды теперь медленно понижают, и, когда он достигает некоторого значения $h_{0}$, шар поднимается над отверстием. Найдите $h_{0}$.
Решение:
Сделаем некоторые замечания:
1) Плотность $\rho_{ш}$ материала шара должна быть меньше плотности $\rho$ воды, иначе он сам ни при каких обстоятельствах всплыть не может. Отсюда следует, что $m < \rho V_{0}$, где $V_{0}$ - полный объем шара.
2) Чем меньше плотность $\rho_{ш}$ материала шара, тем меньше толщина $h$ слоя воды, которая сможет удержать его внизу.
3) Поверхность воды может быть как ниже выступающей части шара над уровнем отверстия ($\rho_{ш}$ существенно меньше $\rho$), так и выше шара ( $\rho_{ш}$ немного меньше $\rho$).
Рассмотрим силы, действующие на шар. Это сила тяжести $mg$, выталкивающая сила воды $F$ и нормальная сила реакции $N$ со стороны краев отверстия. Когда выталкивающая сила сравняется с силой тяжести, нормальная сила реакции станет нулевой, и шар оторвется от дна.
Выталкивающая сила, действующая на шар, полностью находящийся в воде, равна $F_{0} = \rho gV_{0}$. В нашем случае из этой силы необходимо исключить выталкивающую силу, которая действовала бы на нижний шаровой сегмент, находящийся ниже отверстия вне воды, и силу, которая действовала бы на нижнюю плоскость шара без этого сегмента, зависящую от толщины $h$ слоя воды над этой плоскостью. Таким образом, если толщина $h$ слоя воды больше $R + \sqrt{R^{2} - r^{2}}$ (рис.), то выталкивающая сила $F$ будет равна
$F = F_{0} - \rho gV_{н} - \rho gh \pi r^{2}$,
где $V_{н}$ - объем нижнего сегмента, свободного от воды.
Условие равновесия шара у отверстия можно записать в виде
$N = (F_{0} - \rho gV_{н} - \rho gh \pi r^{2} ) - mg$.
В момент отрыва шара от отверстия $N = 0$, т.е.
$mg = F_{0} - \rho gV_{н} - \rho g h_{0} \pi r^{2}$.
Отсюда находим толщину $h_{0}$ слоя воды в момент отрыва шара:
$h_{0} = \frac{ \rho V_{0} - \rho V_{н} - m }{ \rho \pi r^{2} }$.
Для очень легкого шара необходимо учесть убыль объема $V_{в}$ верхнего сегмента, выступающего над поверхностью воды (рис.). Moмент отрыва шара в этом случае описывается уравнением
$mg = F_{0} - \rho gV_{н} - \rho gV_{в} - \rho gh_{0} \pi r^{2}$,
где объем $V_{в}$ тоже зависит от толщины $h_{0}$ слоя воды. Из-за этого решение уравнения относительно $h_{0}$ существенно усложняется (как увидим ниже, это кубическое уравнение).
Объем нижнего шарового сегмента (при толщине сегмента меньше $R$) равен
$V_{н} = \frac{ \pi}{3} \left ( 2R^{3} - (2R^{2} + r^{2}) \sqrt{R^{2} - r^{2}} \right )$.
Полезно ввести высоту $l$ центра шара над плоскостью отверстия:
$l = \sqrt{R^{2} - r^{2} }$,
тогда предыдущая формула упростится:
$V_{н} = \frac{ \pi}{3} \left ( 2R^{3} - l(2R^{2} + r^{2}) \right )$.
Аналогично, объем $V_{в}$ верхнего шарового сегмента равен
$V_{в} = \frac{ \pi}{3} \left ( 2R^{3} - l_{в}(2R^{2} + r_{в}^{2}) \right )$,
где
$r_{в}^{2} = R^{2} - l_{в}^{2}$, а $l_{в} = h - l = h \sqrt{R^{2} - r^{2}}$.
Для анализа результатов рассмотрим зависимость выталкивающей силы $F$ от толщины $h$ слоя воды в преобразованном виде:
$F(h) = \frac{ \pi \rho g}{3} \left ( 3l^{2} (h - l) + 2l^{3} - (h - l)^{3} \right )$, если $h \leq l + R$,
и
$F(h) = \frac{ \pi \rho g}{3} \left( 2 (R^{2} + l^{3}) - 3(h - l)(R^{2} - l^{2}) \right )$, если $h \geq l + R$.
График функции $F(h)$ показан на рисунке. Первая часть функции - это кривая третьего порядка, имеющая максимум при $h = 2l$, вторая - прямая с отрицательным наклоном. Одна линия переходит в другую при $h = R + l$.
График $F(h)$ позволяет определить толщину слоя воды, при которой всплывает конкретный шар при любых условиях, будь он очень легкий или тяжелый. Для этого достаточно провести горизонталь с ординатой, равной силе тяжести заданного шара. При этом получаем две точки пересечения. Ясно, что слева от точки А и справа от точки В шар не всплывает, на отрезке АВ шар невозможно удержать в отверстии. Если шар имеет массу, большую ординаты точки С, то он вообще не всплывает.
