Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10295
2019-05-10 
а) Какой должна быть минимальная скорость запуска ракеты, чтобы вывести спутник на круговую орбиту?
б) Во сколько раз больше энергии требуется для запуска спутника на-полярную орбиту по сравнению с выводом его на экваториальную орбиту?
в) Какую начальную скорость должен иметь космический зонд, чтобы покинуть гравитационное поле Земли?
г) Для чего требуется большая начальная энергия космического зонда - чтобы покинуть Солнечную систему или достичь Солнца?
Решение:
а) Ускорение $a$ спутника, который движется со скоростью $v$ по круговой орбите радиусом $R$, находится по формуле $a = v^{2}/R$. Если $R$ - радиус Земли (более точно - слегка большее значение), то это ускорение должно быть ускорением свободного падения $g$, т.е. $a = g$. Отсюда и определяется первая космическая скорость:
$v_{1} = \sqrt{Rg} = 7,9 км/с$.
С этой скоростью спутник мог бы летать вокруг Земли по круговой орбите сколь угодно долго, если бы у ее поверхности не было атмосферы.
Однако Земля сама вращается. Поэтому в зависимости от земных координат и направления запуска спутника необходимая скорость запуска отличается от $v_{1}$ на величину проекции скорости поверхности Земли в месте запуска на направление скорости запуска спутника. При запуске спутника в восточном направлении скорость запуска надо уменьшить, если запуск идет в западном направлении - увеличить. Для экватора эта поправка составляет приблизительно 0,48 м/с.
б) Момент импульса спутника на полярной орбите (проходящей через полюс) относительно оси вращения Земли равен нулю. Это условие должно быть выполнено непосредственно после запуска, так как в дальнейшем момент импульса спутника изменяться не будет. Поэтому при запуске спутников на полярные орбиты необходимо обеспечить компенсацию смещения спутника в поперечном направлении, которое зависит от широты места запуска. Самая малая поправка получается при осуществлении запуска на любом из полюсов.
Начальная скорость, необходимая для выведения спутника на полярную орбиту, в $\frac{7,9}{7,4} \approx 1,06$ раз больше по сравнению с экваториальной орбитой в сторону востока, при этом кинетическая энергия спутника должна быть в $(1,06)^{2} \approx 1,12$ раза больше.
Это различие не кажется большим, но в действительности самое небольшое увеличение скорости запуска требует огромного увеличения расхода горючего. Причина в том, что вместе со спутником происходит ускорение и самого ракетоносителя вместе с горючим, масса которого существенно больше массы спутника, а количество горючего связано с конечной скоростью спутника быстро растущей экспоненциальной зависимостью.
в) Чтобы космический аппарат смог покинуть область притяжения Земли (т.е. стать спутником Солнца), необходимо ему сообщить вторую космическую скорость $v_{2} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}v_{1} \approx 11,2 км/с$. При этом можно снова использовать вращение Земли. Так, при запуске на экваторе в восточном направлении скорость запуска относительно Земли равна примерно 10,7 км/с.
г) Земля вращается вокруг Солнца со скоростью приблизительно 30 км/с. Чтобы достичь Солнца, космический зонд нужно запустить с начальной скоростью 30 км/с (более точно -29,5 км/с, т.е. на 0,5 км/с меньше из-за вращения Земли). Если цель состоит в том, чтобы покинуть Солнечную систему, то космический зонд должен достичь скорости в $\sqrt{2}$ раз большей, чем 30 км/с, но из этого значения можно будет вычесть начальную скорость Земли на ее орбите. Если запуск хорошо рассчитан и направлен, тогда для запуска космического аппарата достаточно скорости порядка 12 км/с.
Таким образом, легче заставить космический зонд покинуть Солнечную систему, чем послать его на Солнце. Ситуация может быть более благоприятной, если принять во внимание возможности, предлагаемые другими планетами (Марсом, Юпитером, Сатурном и др.). Пространственный зонд, запущенный в правильное время и в правильном направлении, может быть значительно ускорен этими планетами (явление, известное как гравитационная рогатка). Разработанный таким образом пространственный зонд должен только достичь Марса или Юпитера, остальное же произойдет автоматически.
а) Какой должна быть минимальная скорость запуска ракеты, чтобы вывести спутник на круговую орбиту?
б) Во сколько раз больше энергии требуется для запуска спутника на-полярную орбиту по сравнению с выводом его на экваториальную орбиту?
в) Какую начальную скорость должен иметь космический зонд, чтобы покинуть гравитационное поле Земли?
г) Для чего требуется большая начальная энергия космического зонда - чтобы покинуть Солнечную систему или достичь Солнца?
Решение:
а) Ускорение $a$ спутника, который движется со скоростью $v$ по круговой орбите радиусом $R$, находится по формуле $a = v^{2}/R$. Если $R$ - радиус Земли (более точно - слегка большее значение), то это ускорение должно быть ускорением свободного падения $g$, т.е. $a = g$. Отсюда и определяется первая космическая скорость:
$v_{1} = \sqrt{Rg} = 7,9 км/с$.
С этой скоростью спутник мог бы летать вокруг Земли по круговой орбите сколь угодно долго, если бы у ее поверхности не было атмосферы.
Однако Земля сама вращается. Поэтому в зависимости от земных координат и направления запуска спутника необходимая скорость запуска отличается от $v_{1}$ на величину проекции скорости поверхности Земли в месте запуска на направление скорости запуска спутника. При запуске спутника в восточном направлении скорость запуска надо уменьшить, если запуск идет в западном направлении - увеличить. Для экватора эта поправка составляет приблизительно 0,48 м/с.
б) Момент импульса спутника на полярной орбите (проходящей через полюс) относительно оси вращения Земли равен нулю. Это условие должно быть выполнено непосредственно после запуска, так как в дальнейшем момент импульса спутника изменяться не будет. Поэтому при запуске спутников на полярные орбиты необходимо обеспечить компенсацию смещения спутника в поперечном направлении, которое зависит от широты места запуска. Самая малая поправка получается при осуществлении запуска на любом из полюсов.
Начальная скорость, необходимая для выведения спутника на полярную орбиту, в $\frac{7,9}{7,4} \approx 1,06$ раз больше по сравнению с экваториальной орбитой в сторону востока, при этом кинетическая энергия спутника должна быть в $(1,06)^{2} \approx 1,12$ раза больше.
Это различие не кажется большим, но в действительности самое небольшое увеличение скорости запуска требует огромного увеличения расхода горючего. Причина в том, что вместе со спутником происходит ускорение и самого ракетоносителя вместе с горючим, масса которого существенно больше массы спутника, а количество горючего связано с конечной скоростью спутника быстро растущей экспоненциальной зависимостью.
в) Чтобы космический аппарат смог покинуть область притяжения Земли (т.е. стать спутником Солнца), необходимо ему сообщить вторую космическую скорость $v_{2} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2}v_{1} \approx 11,2 км/с$. При этом можно снова использовать вращение Земли. Так, при запуске на экваторе в восточном направлении скорость запуска относительно Земли равна примерно 10,7 км/с.
г) Земля вращается вокруг Солнца со скоростью приблизительно 30 км/с. Чтобы достичь Солнца, космический зонд нужно запустить с начальной скоростью 30 км/с (более точно -29,5 км/с, т.е. на 0,5 км/с меньше из-за вращения Земли). Если цель состоит в том, чтобы покинуть Солнечную систему, то космический зонд должен достичь скорости в $\sqrt{2}$ раз большей, чем 30 км/с, но из этого значения можно будет вычесть начальную скорость Земли на ее орбите. Если запуск хорошо рассчитан и направлен, тогда для запуска космического аппарата достаточно скорости порядка 12 км/с.
Таким образом, легче заставить космический зонд покинуть Солнечную систему, чем послать его на Солнце. Ситуация может быть более благоприятной, если принять во внимание возможности, предлагаемые другими планетами (Марсом, Юпитером, Сатурном и др.). Пространственный зонд, запущенный в правильное время и в правильном направлении, может быть значительно ускорен этими планетами (явление, известное как гравитационная рогатка). Разработанный таким образом пространственный зонд должен только достичь Марса или Юпитера, остальное же произойдет автоматически.
