Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10293
2019-05-10 
Если бы все линейные размеры Солнечной системы были пропорционально сокращены так, чтобы среднее расстояние между Солнцем и Землей стало 1 м, то какова была бы продолжительность одного года? Считайте, что плотность небесных тел при этом не меняется.
Решение:
Пусть $G$ - гравитационная постоянная, $T$ - период обращения Земли вокруг Солнца, $\omega$ - угловая скорость, $m$ и $M$ - масса Земли и Солнца, $r$ - расстояние между их центрами. Будем считать, что $m \ll M$ и что Земля вращается вокруг центра Солнца. Тогда можем записать уравнение движения Земли:
$G \frac{mM}{r^{2} } = m \omega^{2}r = m \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2}r$.
Поделим левую и правую части этого выражения на $m$ и выразим массу Солнца через его радиус $R$ и плотность $\rho$. Тогда предыдущее выражение будет иметь вид
$G \frac{4 \pi \rho R^{3} }{3r^{2} } = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} r$.
Отсюда получаем формулу для периода обращения любого малого тела вокруг массивного тела:
$T = \sqrt{ \frac{3 \pi}{G \rho} \left ( \frac{r}{R} \right )^{3} }$.
Это выражение показывает, что период обращения планеты зависит только от плотности звезды и от отношения расстояния между космическими телами к радиусу притягивающей звезды. Следовательно, продолжительность года не изменится.
Примечание. Этот результат также можно получить, используя третий закон Кеплера, который записывается в виде
$\frac{T^{2}}{a^{3} } = \frac{4 \pi^{2} }{GM}$,
где $a$ - большая полуось эллиптической орбиты. Если массу Солнца выразить через его среднюю плотность, то станет ясно, что пропорциональное уменьшение линейных размеров не изменит период планет на эллиптических орбитах.
Если бы все линейные размеры Солнечной системы были пропорционально сокращены так, чтобы среднее расстояние между Солнцем и Землей стало 1 м, то какова была бы продолжительность одного года? Считайте, что плотность небесных тел при этом не меняется.
Решение:
Пусть $G$ - гравитационная постоянная, $T$ - период обращения Земли вокруг Солнца, $\omega$ - угловая скорость, $m$ и $M$ - масса Земли и Солнца, $r$ - расстояние между их центрами. Будем считать, что $m \ll M$ и что Земля вращается вокруг центра Солнца. Тогда можем записать уравнение движения Земли:
$G \frac{mM}{r^{2} } = m \omega^{2}r = m \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2}r$.
Поделим левую и правую части этого выражения на $m$ и выразим массу Солнца через его радиус $R$ и плотность $\rho$. Тогда предыдущее выражение будет иметь вид
$G \frac{4 \pi \rho R^{3} }{3r^{2} } = \left ( \frac{2 \pi}{T} \right )^{2} r$.
Отсюда получаем формулу для периода обращения любого малого тела вокруг массивного тела:
$T = \sqrt{ \frac{3 \pi}{G \rho} \left ( \frac{r}{R} \right )^{3} }$.
Это выражение показывает, что период обращения планеты зависит только от плотности звезды и от отношения расстояния между космическими телами к радиусу притягивающей звезды. Следовательно, продолжительность года не изменится.
Примечание. Этот результат также можно получить, используя третий закон Кеплера, который записывается в виде
$\frac{T^{2}}{a^{3} } = \frac{4 \pi^{2} }{GM}$,
где $a$ - большая полуось эллиптической орбиты. Если массу Солнца выразить через его среднюю плотность, то станет ясно, что пропорциональное уменьшение линейных размеров не изменит период планет на эллиптических орбитах.
