Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10289
2019-05-10 
Тонкостенная сферическая оболочка, образованная прочным соединением двух однородных полусфер из материалов разной плотности, помещена на наклонную плоскость. Может ли такое тело оставаться в равновесии, если угол наклона плоскости к горизонту равен $30^{ \circ}$?
Решение:
Если трение покоя достаточно большое, то сфера скользишь по наклонной плоскости не будет. Однако этого еще недостаточно - для равновесия необходимо также, чтобы сфера не могла катиться вниз по наклонной плоскости.
Сферическая оболочка состоит из двух полусфер с разными плотностями, что подразумевает неоднородное распределение масс. Если расстояние между ее центром масс и геометрическим центром меньше $r/2$, где $r$ - радиус сферы, то, какова бы ни была ориентация сферы, ее сила тяжести вызовет крутящий момент относительно точки контакта Р с наклонной плоскостью (рис.), который заставит сферу вращаться. Покажем, что такая ситуация возникает для любой сферы, состоящей из двух однородных полусфер, независимо от их плотностей.
Если однородную полусферу разбить на большое число слоев одной и той же толщины плоскостями, параллельными основанию полусферы, то массы всех этих слоев - ободков - будут одинаковыми. Это непосредственно следует из теоремы стереометрии о площади поверхности сферического слоя высотой $h$, вырезанного из сферы радиусом $R$: эта площадь равна $2 \pi Rh$. Поэтому центр тяжести однородной полусферической оболочки находится на ее оси симметрии на расстоянии $R/2$ от центра. Для двух полусфер общий центр масс будет где-то между центрами масс обеих половинок, а значит, на расстоянии, меньшем $R/2$ от их общего центра.
Из предыдущих рассуждений следует, что сфера не может остаться в равновесии на плоскости, наклоненной под углом $30^{ \circ}$.
При решении мы предположили, что трение качения маленькое, т.е. что никакой крутящий момент силы трения не может действовать в точке Р. В случае, когда поверхность полусферы шершавая, очевидно, это неправильно, так как такая сфера может удерживаться даже на почти вертикальной поверхности.
Тонкостенная сферическая оболочка, образованная прочным соединением двух однородных полусфер из материалов разной плотности, помещена на наклонную плоскость. Может ли такое тело оставаться в равновесии, если угол наклона плоскости к горизонту равен $30^{ \circ}$?
Решение:
Если трение покоя достаточно большое, то сфера скользишь по наклонной плоскости не будет. Однако этого еще недостаточно - для равновесия необходимо также, чтобы сфера не могла катиться вниз по наклонной плоскости.
Сферическая оболочка состоит из двух полусфер с разными плотностями, что подразумевает неоднородное распределение масс. Если расстояние между ее центром масс и геометрическим центром меньше $r/2$, где $r$ - радиус сферы, то, какова бы ни была ориентация сферы, ее сила тяжести вызовет крутящий момент относительно точки контакта Р с наклонной плоскостью (рис.), который заставит сферу вращаться. Покажем, что такая ситуация возникает для любой сферы, состоящей из двух однородных полусфер, независимо от их плотностей.
Если однородную полусферу разбить на большое число слоев одной и той же толщины плоскостями, параллельными основанию полусферы, то массы всех этих слоев - ободков - будут одинаковыми. Это непосредственно следует из теоремы стереометрии о площади поверхности сферического слоя высотой $h$, вырезанного из сферы радиусом $R$: эта площадь равна $2 \pi Rh$. Поэтому центр тяжести однородной полусферической оболочки находится на ее оси симметрии на расстоянии $R/2$ от центра. Для двух полусфер общий центр масс будет где-то между центрами масс обеих половинок, а значит, на расстоянии, меньшем $R/2$ от их общего центра.
Из предыдущих рассуждений следует, что сфера не может остаться в равновесии на плоскости, наклоненной под углом $30^{ \circ}$.
При решении мы предположили, что трение качения маленькое, т.е. что никакой крутящий момент силы трения не может действовать в точке Р. В случае, когда поверхность полусферы шершавая, очевидно, это неправильно, так как такая сфера может удерживаться даже на почти вертикальной поверхности.
