Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10288
2019-05-10 
В романе Виктора Гюго «Отверженные» главный герой Жан Вальжан, бежавший заключенный, обладал способностью взбираться вверх по углу, образованному пересечением двух вертикальных перпендикулярных друг другу стен. Найдите минимальную силу, с которой он должен был при этом отталкиваться от стен. Какой минимальный коэффициент трения покоя необходим для осуществления такого движения?
Решение:
Рисунок а иллюстрирует положение Жана Вальжана на стене в некоторый момент времени, а на рисунке б показаны действующие на него силы. Это его сила тяжести $m \vec{g}$, нормальные реакции стен $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{т}$, действующие на его конечности. Подчеркнем, что силы $\vec{N}$ перпендикулярны стенам, а силы $\vec{F}_{т}$ лежат в их плоскостях.
Пусть силы трения покоя составляют одинаковые углы $\theta$ с вертикалями. Тогда условия статического равновесия можно записать так (рис.):
$mg = 2F_{т} \cos \theta, N = F_{т} \sin \theta$.
Из этих уравнений следует, что
$N = \frac{mg tg \theta}{2}, F_{т} = \frac{mg}{2 \cos \theta}$.
Таким образом, сила, которую необходимо развивать на каждой стене Жану Вальжану, определяется выражением
$F^{2} = N^{2} + F_{т}^{2} = \left ( \frac{mg tg \theta }{2} \right )^{2} + \left ( \frac{mg}{2 \cos \theta} \right )^{2} = \left ( \frac{mg}{2} \right )^{2} \frac{ \sin^{2} \theta + 1 }{ \cos^{2} \theta }$.
В то же время, сила трения $F_{т}$ выражается через коэффициент трения покоя $\mu$ по формуле
$F_{т} \leq \mu N$.
Учитывая это неравенство, из условия статического равновесия получаем следующие неравенства для $\sin \theta$ и $\cos \theta$:
$\sin \theta \geq \frac{1}{ \mu}, \cos \theta \leq \frac{ \sqrt{ \mu^{2} - 1 } }{ \mu}$.
Теперь из выражения для силы $F$ находим ее минимальное значение:
$F_{min} = \frac{mg}{2} \sqrt{ \frac{ \mu^{2} + 1 }{ \mu^{2} - 1 }}$.
Это выражение показывает, что коэффициент трения покоя должен быть больше единицы, чтобы Жан Вальжан не мог упасть со стены. Далее, видим, что если коэффициент трения $\mu$ устремить к бесконечности, то сила $F_{min}$ превращается в половину силы тяжести. Это соответствует тому, что Жан Вальжан должен как бы приклеиваться к стене.
В романе Виктора Гюго «Отверженные» главный герой Жан Вальжан, бежавший заключенный, обладал способностью взбираться вверх по углу, образованному пересечением двух вертикальных перпендикулярных друг другу стен. Найдите минимальную силу, с которой он должен был при этом отталкиваться от стен. Какой минимальный коэффициент трения покоя необходим для осуществления такого движения?
Решение:
Рисунок а иллюстрирует положение Жана Вальжана на стене в некоторый момент времени, а на рисунке б показаны действующие на него силы. Это его сила тяжести $m \vec{g}$, нормальные реакции стен $\vec{N}$ и силы трения покоя $\vec{F}_{т}$, действующие на его конечности. Подчеркнем, что силы $\vec{N}$ перпендикулярны стенам, а силы $\vec{F}_{т}$ лежат в их плоскостях.
Пусть силы трения покоя составляют одинаковые углы $\theta$ с вертикалями. Тогда условия статического равновесия можно записать так (рис.):
$mg = 2F_{т} \cos \theta, N = F_{т} \sin \theta$.
Из этих уравнений следует, что
$N = \frac{mg tg \theta}{2}, F_{т} = \frac{mg}{2 \cos \theta}$.
Таким образом, сила, которую необходимо развивать на каждой стене Жану Вальжану, определяется выражением
$F^{2} = N^{2} + F_{т}^{2} = \left ( \frac{mg tg \theta }{2} \right )^{2} + \left ( \frac{mg}{2 \cos \theta} \right )^{2} = \left ( \frac{mg}{2} \right )^{2} \frac{ \sin^{2} \theta + 1 }{ \cos^{2} \theta }$.
В то же время, сила трения $F_{т}$ выражается через коэффициент трения покоя $\mu$ по формуле
$F_{т} \leq \mu N$.
Учитывая это неравенство, из условия статического равновесия получаем следующие неравенства для $\sin \theta$ и $\cos \theta$:
$\sin \theta \geq \frac{1}{ \mu}, \cos \theta \leq \frac{ \sqrt{ \mu^{2} - 1 } }{ \mu}$.
Теперь из выражения для силы $F$ находим ее минимальное значение:
$F_{min} = \frac{mg}{2} \sqrt{ \frac{ \mu^{2} + 1 }{ \mu^{2} - 1 }}$.
Это выражение показывает, что коэффициент трения покоя должен быть больше единицы, чтобы Жан Вальжан не мог упасть со стены. Далее, видим, что если коэффициент трения $\mu$ устремить к бесконечности, то сила $F_{min}$ превращается в половину силы тяжести. Это соответствует тому, что Жан Вальжан должен как бы приклеиваться к стене.
