Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10286
2019-05-10 
Айсберг, выступающий над водной поверхностью на 10 м, представляет собой вертикально расположенную правильную пирамиду. Пренебрегая любым вынужденным движением воды, найдите период малых колебаний айсберга по вертикали. Плотность льда $900 кг/м^{3}$.
Решение:
Пусть $S$ - площадь основания и $H$ - высота айсберга, $s$ и $h$ - площадь основания и высота выступающей части айсберга над поверхностью воды, $\rho_{л}$ и $\rho_{в}$ - плотности льда и воды соответственно. Тогда полный объем $V_{0}$ айсберга и объем $V$ его выступающей части будут равны
$V_{0} = \frac{SH}{3}$ и $V = \frac{sh}{3}$.
Ясно, что площадь любого горизонтального сечения пирамиды пропорциональна квадрату соответствующей высоты, откуда следует, что
$\frac{s}{S} = \left ( \frac{h}{H} \right )^{2}$, и $\frac{V}{V_{0} } = \left ( \frac{h}{H} \right )^{3}$.
Айсберг будет плавать, если выталкивающая сила равна его силе тяжести:
$\rho_{в}g \left ( \frac{SH}{3} - \frac{sh}{3} \right ) = \frac{ \rho_{л}gSH }{3}$,
или
$\rho_{в}(H^{3} - h^{3}) = \rho_{л}H^{3}$.
Отсюда, в частности, можно найти полную высоту айсберга:
$H = h \sqrt[3]{ \frac{ \rho_{в} }{ \rho_{в} - \rho_{л} } }$.
Если айсберг утопить на небольшую величину $x$, то дополнительный погруженный объем будет равен $xS \left ( \frac{h}{H} \right )^{2}$, а если его умножить на $\rho_{в}g$, то получим дополнительную выталкивающую силу $\Delta F_{выт}$, которая приводит айсберг к колебаниям. Поскольку масса $M$ айсберга равна $\rho_{л} \frac{SH}{3}$, угловая частота колебаний $\omega$ определяется по формуле
$\omega^{2} = \frac{ \Delta F_{выт}/x }{M} = 3g \frac{ \rho_{в} }{ \rho_{л} } \frac{h^{2} }{H^{3} } = 3g \frac{ \rho_{в} - \rho_{л} }{h \rho_{л} }$.
Период колебания айсберга $T$ после подстановки данных числовых значений оказывается равным
$T = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{h \rho_{л}}{3g ( \rho_{в} - \rho_{л} ) }} \approx 10,9 с$.
Айсберг, выступающий над водной поверхностью на 10 м, представляет собой вертикально расположенную правильную пирамиду. Пренебрегая любым вынужденным движением воды, найдите период малых колебаний айсберга по вертикали. Плотность льда $900 кг/м^{3}$.
Решение:
Пусть $S$ - площадь основания и $H$ - высота айсберга, $s$ и $h$ - площадь основания и высота выступающей части айсберга над поверхностью воды, $\rho_{л}$ и $\rho_{в}$ - плотности льда и воды соответственно. Тогда полный объем $V_{0}$ айсберга и объем $V$ его выступающей части будут равны
$V_{0} = \frac{SH}{3}$ и $V = \frac{sh}{3}$.
Ясно, что площадь любого горизонтального сечения пирамиды пропорциональна квадрату соответствующей высоты, откуда следует, что
$\frac{s}{S} = \left ( \frac{h}{H} \right )^{2}$, и $\frac{V}{V_{0} } = \left ( \frac{h}{H} \right )^{3}$.
Айсберг будет плавать, если выталкивающая сила равна его силе тяжести:
$\rho_{в}g \left ( \frac{SH}{3} - \frac{sh}{3} \right ) = \frac{ \rho_{л}gSH }{3}$,
или
$\rho_{в}(H^{3} - h^{3}) = \rho_{л}H^{3}$.
Отсюда, в частности, можно найти полную высоту айсберга:
$H = h \sqrt[3]{ \frac{ \rho_{в} }{ \rho_{в} - \rho_{л} } }$.
Если айсберг утопить на небольшую величину $x$, то дополнительный погруженный объем будет равен $xS \left ( \frac{h}{H} \right )^{2}$, а если его умножить на $\rho_{в}g$, то получим дополнительную выталкивающую силу $\Delta F_{выт}$, которая приводит айсберг к колебаниям. Поскольку масса $M$ айсберга равна $\rho_{л} \frac{SH}{3}$, угловая частота колебаний $\omega$ определяется по формуле
$\omega^{2} = \frac{ \Delta F_{выт}/x }{M} = 3g \frac{ \rho_{в} }{ \rho_{л} } \frac{h^{2} }{H^{3} } = 3g \frac{ \rho_{в} - \rho_{л} }{h \rho_{л} }$.
Период колебания айсберга $T$ после подстановки данных числовых значений оказывается равным
$T = \frac{2 \pi}{ \omega } = 2 \pi \sqrt{ \frac{h \rho_{л}}{3g ( \rho_{в} - \rho_{л} ) }} \approx 10,9 с$.
