Разделы 
Дополнительно
Задачи по физике - 10285
2019-05-10 
Человек ростом $h_{0} = 2м$, привязанный гибким упругим тросом за ногу, прыгает вниз с платформы, возвышающейся над озером на высоте $h = 25 м$ (рис.). Другой конец троса прикреплен к платформе. Человек начинает падать из состояния покоя, находясь в вертикальном положении. Длина и упругие свойства троса выбраны так, чтобы скорость человека обратилась в ноль в тот момент, когда его голова достигнет поверхности воды. В конце концов прыгун зависает на тросе вверх ногами, а его голова находится на высоте $\Delta h = 8 м$ над поверхностью воды.
а) Найдите длину троса в нерастянутом состоянии.
б)vНайдите максимальные скорость и ускорение, которые достигаются во время падения.
Решение:
а) Пусть $k$ - упругость троса, $l_{0}$ - его длина в нерастянутом состоянии. Максимальная длина троса $l_{1}$ оказалась равной
$l_{1} = h - h_{0} = 23 м$,
в то время как в равновесии под нагрузкой длина $l_{2}$ троса равна
$l_{2} = l_{1} - \Delta h = 15 м$.
Учтем, что в верхнем (исходном) и нижнем положениях прыгун не имел кинетической энергии, поэтому в максимально растянутом состоянии упругая энергия троса равна изменению потенциальной энергии прыгуна. Пренебрегая массой троса и полагая, что центр масс прыгуна находится на середине его высоты, запишем
$mgh = \frac{k(l_{1} - l_{0} )^{2}}{2}$.
Кроме того, в состоянии равновесия
$mg = k(l_{2} - l_{0})$.
При делении этих двух уравнений друг на друга мы получаем для $l_{0}$ квадратное уравнение
$l_{0}^{2} + 2(h - l_{1})l_{0} + (l_{1}^{2} - 2hl_{2}) = 0$,
или
$l_{0}^{2} +4l_{0} - 221 = 0$,
откуда находим, что $l_{0} = 13 м$.
Определим еще упругость $k$ троса (для человека массой $m = 100 кг$):
$k = \frac{mg}{l_{2} - l_{0} } = 500 Н/м$.
6) Когда падающий прыгун достигает самой высокой скорости, его ускорение становится равным нулю. То же наблюдается при прохождении колеблющимся телом положения равновесия. В нашем случае это происходит при $l = l_{2}$. Используя закон сохранения механической энергии, можем записать
$\frac{mv^{2} }{2} + \frac{k(l_{2} - l_{0} )^{2} }{2} = mg (l_{2} + h_{0} )$.
Подставив в это уравнение выражение для упругости $k$ из пункта а), получим для максимальной скорости $v$ при прохождении положения равновесия такое выражение:
$v = \sqrt{g(l_{2} + l_{0} + 2h_{0})} = \sqrt{10 \cdot 32} м/с \approx 17,8 м/с \approx 64 км/ч$.
Если не пользоваться аналогией с колебательным движением, то из закона сохранения энергии найдем, что максимальная скорость прыгуна $v = 18 м/с \approx 65 км/ч$.
При вычислении максимального ускорения необходимо определить максимальную силу, действующую на прыгуна в нижней точке. Так как самое большое растяжение троса (10 м) в пять раз больше растяжения в положении равновесия (2 м), то самая большая сила натяжения троса равна $5mg$. Так что максимальная равнодействующая сила, действующая на прыгуна, равна $4mg$, а его максимальное ускорение равно, соответственно, $a = 4g = 40 м/с^{2}$.
Человек ростом $h_{0} = 2м$, привязанный гибким упругим тросом за ногу, прыгает вниз с платформы, возвышающейся над озером на высоте $h = 25 м$ (рис.). Другой конец троса прикреплен к платформе. Человек начинает падать из состояния покоя, находясь в вертикальном положении. Длина и упругие свойства троса выбраны так, чтобы скорость человека обратилась в ноль в тот момент, когда его голова достигнет поверхности воды. В конце концов прыгун зависает на тросе вверх ногами, а его голова находится на высоте $\Delta h = 8 м$ над поверхностью воды.
а) Найдите длину троса в нерастянутом состоянии.
б)vНайдите максимальные скорость и ускорение, которые достигаются во время падения.
Решение:
а) Пусть $k$ - упругость троса, $l_{0}$ - его длина в нерастянутом состоянии. Максимальная длина троса $l_{1}$ оказалась равной
$l_{1} = h - h_{0} = 23 м$,
в то время как в равновесии под нагрузкой длина $l_{2}$ троса равна
$l_{2} = l_{1} - \Delta h = 15 м$.
Учтем, что в верхнем (исходном) и нижнем положениях прыгун не имел кинетической энергии, поэтому в максимально растянутом состоянии упругая энергия троса равна изменению потенциальной энергии прыгуна. Пренебрегая массой троса и полагая, что центр масс прыгуна находится на середине его высоты, запишем
$mgh = \frac{k(l_{1} - l_{0} )^{2}}{2}$.
Кроме того, в состоянии равновесия
$mg = k(l_{2} - l_{0})$.
При делении этих двух уравнений друг на друга мы получаем для $l_{0}$ квадратное уравнение
$l_{0}^{2} + 2(h - l_{1})l_{0} + (l_{1}^{2} - 2hl_{2}) = 0$,
или
$l_{0}^{2} +4l_{0} - 221 = 0$,
откуда находим, что $l_{0} = 13 м$.
Определим еще упругость $k$ троса (для человека массой $m = 100 кг$):
$k = \frac{mg}{l_{2} - l_{0} } = 500 Н/м$.
6) Когда падающий прыгун достигает самой высокой скорости, его ускорение становится равным нулю. То же наблюдается при прохождении колеблющимся телом положения равновесия. В нашем случае это происходит при $l = l_{2}$. Используя закон сохранения механической энергии, можем записать
$\frac{mv^{2} }{2} + \frac{k(l_{2} - l_{0} )^{2} }{2} = mg (l_{2} + h_{0} )$.
Подставив в это уравнение выражение для упругости $k$ из пункта а), получим для максимальной скорости $v$ при прохождении положения равновесия такое выражение:
$v = \sqrt{g(l_{2} + l_{0} + 2h_{0})} = \sqrt{10 \cdot 32} м/с \approx 17,8 м/с \approx 64 км/ч$.
Если не пользоваться аналогией с колебательным движением, то из закона сохранения энергии найдем, что максимальная скорость прыгуна $v = 18 м/с \approx 65 км/ч$.
При вычислении максимального ускорения необходимо определить максимальную силу, действующую на прыгуна в нижней точке. Так как самое большое растяжение троса (10 м) в пять раз больше растяжения в положении равновесия (2 м), то самая большая сила натяжения троса равна $5mg$. Так что максимальная равнодействующая сила, действующая на прыгуна, равна $4mg$, а его максимальное ускорение равно, соответственно, $a = 4g = 40 м/с^{2}$.
