Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10273
2019-02-27 
Ось длинной пружины (цилиндрической винтовой линии) совпадает с оптической осью собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно $F$ (см. рис.). Начало пружины (точка А) находится на расстоянии $2F$ от плоскости линзы, расстояние между соседними витками пружины равно $h$. Из точки A по пружине начинает равномерно двигаться бусинка. Один виток она проходит за время $T$. Определите момент времени, когда скорость изображения бусинки в линзе станет в два раза меньше, чем скорость самой бусинки. Считать, что скорость перемещения бусинки вдоль оси пружины много меньше ее полной скорости.
Решение:
Ясно, что бусинка, центр линзы O и изображение все время находятся на одной прямой. Поэтому, для того, чтобы понять, как будет устроена траектория изображения, достаточно смотреть только на движение предмета вдоль оси системы. Рассмотрим изображение точек винтовой линии, лежащих на горизонтальной прямой, проходящей через точку A. Очевидно, все они принадлежат отрезку MN (см. рис.; на рисунке изображена плоскость, в которой находятся оптическая ось, изображение и бусина).
Таким образом, траектория изображения бусинки представляет собой винтовую линию с уменьшающимся радиусом и шагом спирали. Изображение проходит один виток за время $T$, так же как и сама бусинка. По условию, скорость движения бусинки вдоль оси много меньше полной скорости, поэтому, пренебрегая продольными составляющими скоростей, можно считать, что движение происходит по окружностям. Длина окружности, по которой движется бусинка в некоторый произвольный момент $2 \pi | EB |$, изображение при этом движется по окружности длиной $2 \pi |DC|$ (см. рис.). Тогда их скорости можно найти по следующим формулам $V_{1} = 2 \pi |EB|/T$ и $V_{2} = 2 \pi |DC|/T$ соответственно, а отношение скоростей будет равняться $V_{1}/V_{2} = |EB|/|DC|$. Нам нужно подобрать отношение $V_{1}/V_{2} = 2$, следовательно $|EB|/|DC| = 2$. Прямоугольные треугольники OEB и OCD подобны то трем углам, значит $|OB|/|OD| = |EB|/|DC| = 2$. Теперь запишем уравнение тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{|OB|} + \frac{1}{|OD|}$
зная, что $|OD| = |OB|/2$ находим $|OB| = 3F$. Следовательно, бусинка прошла вдоль оптической оси расстояние $|OB| - 2F = F$, а скорость её вдоль оси равна $h/T$, где $h$ - шаг винтовой линии. Отсюда получаем искомое время $t = FT/h$.
Ответ: Скорость изображения станет в два раза меньше скорости бусинки через время $t = FT/h$.
Ось длинной пружины (цилиндрической винтовой линии) совпадает с оптической осью собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно $F$ (см. рис.). Начало пружины (точка А) находится на расстоянии $2F$ от плоскости линзы, расстояние между соседними витками пружины равно $h$. Из точки A по пружине начинает равномерно двигаться бусинка. Один виток она проходит за время $T$. Определите момент времени, когда скорость изображения бусинки в линзе станет в два раза меньше, чем скорость самой бусинки. Считать, что скорость перемещения бусинки вдоль оси пружины много меньше ее полной скорости.
Решение:
Ясно, что бусинка, центр линзы O и изображение все время находятся на одной прямой. Поэтому, для того, чтобы понять, как будет устроена траектория изображения, достаточно смотреть только на движение предмета вдоль оси системы. Рассмотрим изображение точек винтовой линии, лежащих на горизонтальной прямой, проходящей через точку A. Очевидно, все они принадлежат отрезку MN (см. рис.; на рисунке изображена плоскость, в которой находятся оптическая ось, изображение и бусина).
Таким образом, траектория изображения бусинки представляет собой винтовую линию с уменьшающимся радиусом и шагом спирали. Изображение проходит один виток за время $T$, так же как и сама бусинка. По условию, скорость движения бусинки вдоль оси много меньше полной скорости, поэтому, пренебрегая продольными составляющими скоростей, можно считать, что движение происходит по окружностям. Длина окружности, по которой движется бусинка в некоторый произвольный момент $2 \pi | EB |$, изображение при этом движется по окружности длиной $2 \pi |DC|$ (см. рис.). Тогда их скорости можно найти по следующим формулам $V_{1} = 2 \pi |EB|/T$ и $V_{2} = 2 \pi |DC|/T$ соответственно, а отношение скоростей будет равняться $V_{1}/V_{2} = |EB|/|DC|$. Нам нужно подобрать отношение $V_{1}/V_{2} = 2$, следовательно $|EB|/|DC| = 2$. Прямоугольные треугольники OEB и OCD подобны то трем углам, значит $|OB|/|OD| = |EB|/|DC| = 2$. Теперь запишем уравнение тонкой линзы:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{|OB|} + \frac{1}{|OD|}$
зная, что $|OD| = |OB|/2$ находим $|OB| = 3F$. Следовательно, бусинка прошла вдоль оптической оси расстояние $|OB| - 2F = F$, а скорость её вдоль оси равна $h/T$, где $h$ - шаг винтовой линии. Отсюда получаем искомое время $t = FT/h$.
Ответ: Скорость изображения станет в два раза меньше скорости бусинки через время $t = FT/h$.
