Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10271
2019-02-27 
Длинная труба обогревает ангар, в результате чего в нем установилась температура $T^{*} = 5^{ \circ} С$. Через трубу поступает ежесекундно $\mu = 50 кг$ воды при температуре $T_{0} = 80^{ \circ} С$, температура воды, вытекающей из ангара по трубе равна $T_{1} = 32^{ \circ} С$. Известно, что кусок трубы длиной $\Delta l$, имея температуру $T$, отдавал бы в среду с температурой $T^{*}$ ежесекундно теплоту $P = \alpha \Delta l(T - T^{*})$, где $\alpha = 4,2 кДж/(м \cdot^{ \circ} К)$. На рисунке приведен график зависимости температуры трубы $T$ от расстояния до ее начала, однако масштаб графика по оси абсцисс стерся. Какова длина трубы в ангаре? Удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot^{ \circ} С)$.
Решение:
Способ I
Обозначим длину трубы через $L$. Температура трубы меняется в трубе от точки к точке, поэтому введем функцию температуры трубы $T(x)$ в зависимости от расстояния $x$ до ее начала.
Система находится в тепловом равновесии, поэтому напишем уравнение энергетического баланса. Рассмотрим отрезок трубы от точки $x$ до точки $x + \Delta x$, считая, что длина $\Delta x$ мала (см. рис.). Тогда можно считать, что температура выбранного куска постоянна и равна $T(x)$. Следовательно, энергия, отдаваемая в комнату этим отрезком трубы за единицу времени равна $W = \alpha \Delta x(T(x) - T^{*})$.
Воду можно считать несжимаемой, поэтому за единицу времени в выбранный объем трубы втекает $\mu$ кг воды при температуре $T(x)$, и вытекает столько же, но уже при более низкой температуре $T(x + \Delta x)$. Таким образом, в единицу времени в выделенный объем вода привносит энергию $Q = c \mu (T(x) - T(x + \Delta x))$. Удобно ввести величину $\Delta T(x) = T(x + \Delta x) - T(x)$ ($\Delta T(x) < 0$, так как температура уменьшается по мере удаления от начала), тогда $Q = - c \mu \Delta T(x)$. Так как труба находится в равновесии с воздухом в ангаре, то эта энергия и равняется энергии, выделяемой трубой, то есть $Q = W$. Отсюда получаем:
$\alpha \Delta x (T(x) - T^{*} = - c \mu \Delta T(x) \Rightarrow T(x) = T^{*} - \frac{c \mu}{ \alpha} \frac{ \Delta T(x)}{ \Delta x}$. (3)
Обратимся теперь к графику. Несложно понять, что величина $\Delta T/ \Delta x$ характеризует угловой коэффициент графика, приведенного в условии. Соотношение (3) позволяет, зная масштаб по оси ординат, восстановить масштаб оси абсцисс. Действительно, выберем на графике некоторую точку, например, начальную ($T = T_{0} = 80^{ \circ} С$), и проведем в ней касательную к графику. Введем произвольный масштаб длины, скажем, назовем точку пересечения полученной касательной с горизонталью $T = T_{1}$ через $L^{*}$ и будем мерить длину трубы в единицах $L^{*}$ (см. рис.). Соотношение (3) в этой точке имеет вид
$T_{0} = T_{*} + \frac{c \mu}{ \alpha} tg \gamma = T^{*} + \frac{c \mu}{ \alpha} \frac{(T_{0} - T_{1} )}{L^{*} } \Rightarrow L^{*} = \frac{c \mu}{ \alpha} \frac{T_{0} - T_{1} }{T_{0} - T^{*} } = 32 м$.
Из графика с помощью линейки определим $L/L^{*} \approx 1,5$ значит, длина трубы $L = 48$ метров. Так как измерения на графике связаны с погрешностью, можно строить касательные к графику в нескольких точках, и, усредняя результаты, уменьшать погрешность.
Способ II
Существует второй способ оценки, однако он менее точен, так как предполагает, что зависимость температуры от длины трубы приблизительно линейная, $T(x) \equiv T_{0} + (T_{1} - T_{0})x/L$.
Чтоб найти полную выделяемую трубой мощность тепла, нужно просуммировать тепло $\Delta W$, выделяемое каждым кусочком длиной $\Delta x$; каждая из величин $\Delta W$ равна $Z(x) = \alpha \Delta x(T(x) - T^{*})$. Суммирование сводится к нахождению площади под графиком $Z(x)$ в пределах от начала до конца трубы ($0 \leq x \leq L$). Это площадь трапеции, закрашенной на рисунке, она оказывается равной
$W = ((T_{0} - T_{1})/2 - T^{*}) \alpha L = \alpha L \cdot 51^{ \circ}$.
С другой стороны, за единицу времени в трубу втекает $\mu$ воды при температуре $T_{0}$, и вытекает столько же, но уже при температуре $T_{1}$. Следовательно, полная энергия, которая привносится водой в комнату за единицу времени составляет $Q = c \mu (T_{0} - T_{1}) = c \mu \cdot 48^{ \circ}$. Приравнивая $Q$ и $W$ получаем ответ.
Ответ: Длина трубы приблизительно 50 м.
Длинная труба обогревает ангар, в результате чего в нем установилась температура $T^{*} = 5^{ \circ} С$. Через трубу поступает ежесекундно $\mu = 50 кг$ воды при температуре $T_{0} = 80^{ \circ} С$, температура воды, вытекающей из ангара по трубе равна $T_{1} = 32^{ \circ} С$. Известно, что кусок трубы длиной $\Delta l$, имея температуру $T$, отдавал бы в среду с температурой $T^{*}$ ежесекундно теплоту $P = \alpha \Delta l(T - T^{*})$, где $\alpha = 4,2 кДж/(м \cdot^{ \circ} К)$. На рисунке приведен график зависимости температуры трубы $T$ от расстояния до ее начала, однако масштаб графика по оси абсцисс стерся. Какова длина трубы в ангаре? Удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot^{ \circ} С)$.
Решение:
Способ I
Обозначим длину трубы через $L$. Температура трубы меняется в трубе от точки к точке, поэтому введем функцию температуры трубы $T(x)$ в зависимости от расстояния $x$ до ее начала.
Система находится в тепловом равновесии, поэтому напишем уравнение энергетического баланса. Рассмотрим отрезок трубы от точки $x$ до точки $x + \Delta x$, считая, что длина $\Delta x$ мала (см. рис.). Тогда можно считать, что температура выбранного куска постоянна и равна $T(x)$. Следовательно, энергия, отдаваемая в комнату этим отрезком трубы за единицу времени равна $W = \alpha \Delta x(T(x) - T^{*})$.
Воду можно считать несжимаемой, поэтому за единицу времени в выбранный объем трубы втекает $\mu$ кг воды при температуре $T(x)$, и вытекает столько же, но уже при более низкой температуре $T(x + \Delta x)$. Таким образом, в единицу времени в выделенный объем вода привносит энергию $Q = c \mu (T(x) - T(x + \Delta x))$. Удобно ввести величину $\Delta T(x) = T(x + \Delta x) - T(x)$ ($\Delta T(x) < 0$, так как температура уменьшается по мере удаления от начала), тогда $Q = - c \mu \Delta T(x)$. Так как труба находится в равновесии с воздухом в ангаре, то эта энергия и равняется энергии, выделяемой трубой, то есть $Q = W$. Отсюда получаем:
$\alpha \Delta x (T(x) - T^{*} = - c \mu \Delta T(x) \Rightarrow T(x) = T^{*} - \frac{c \mu}{ \alpha} \frac{ \Delta T(x)}{ \Delta x}$. (3)
Обратимся теперь к графику. Несложно понять, что величина $\Delta T/ \Delta x$ характеризует угловой коэффициент графика, приведенного в условии. Соотношение (3) позволяет, зная масштаб по оси ординат, восстановить масштаб оси абсцисс. Действительно, выберем на графике некоторую точку, например, начальную ($T = T_{0} = 80^{ \circ} С$), и проведем в ней касательную к графику. Введем произвольный масштаб длины, скажем, назовем точку пересечения полученной касательной с горизонталью $T = T_{1}$ через $L^{*}$ и будем мерить длину трубы в единицах $L^{*}$ (см. рис.). Соотношение (3) в этой точке имеет вид
$T_{0} = T_{*} + \frac{c \mu}{ \alpha} tg \gamma = T^{*} + \frac{c \mu}{ \alpha} \frac{(T_{0} - T_{1} )}{L^{*} } \Rightarrow L^{*} = \frac{c \mu}{ \alpha} \frac{T_{0} - T_{1} }{T_{0} - T^{*} } = 32 м$.
Из графика с помощью линейки определим $L/L^{*} \approx 1,5$ значит, длина трубы $L = 48$ метров. Так как измерения на графике связаны с погрешностью, можно строить касательные к графику в нескольких точках, и, усредняя результаты, уменьшать погрешность.
Способ II
Существует второй способ оценки, однако он менее точен, так как предполагает, что зависимость температуры от длины трубы приблизительно линейная, $T(x) \equiv T_{0} + (T_{1} - T_{0})x/L$.
Чтоб найти полную выделяемую трубой мощность тепла, нужно просуммировать тепло $\Delta W$, выделяемое каждым кусочком длиной $\Delta x$; каждая из величин $\Delta W$ равна $Z(x) = \alpha \Delta x(T(x) - T^{*})$. Суммирование сводится к нахождению площади под графиком $Z(x)$ в пределах от начала до конца трубы ($0 \leq x \leq L$). Это площадь трапеции, закрашенной на рисунке, она оказывается равной
$W = ((T_{0} - T_{1})/2 - T^{*}) \alpha L = \alpha L \cdot 51^{ \circ}$.
С другой стороны, за единицу времени в трубу втекает $\mu$ воды при температуре $T_{0}$, и вытекает столько же, но уже при температуре $T_{1}$. Следовательно, полная энергия, которая привносится водой в комнату за единицу времени составляет $Q = c \mu (T_{0} - T_{1}) = c \mu \cdot 48^{ \circ}$. Приравнивая $Q$ и $W$ получаем ответ.
Ответ: Длина трубы приблизительно 50 м.
