Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10260
2019-02-27 
В цилиндре под поршнем содержится $\nu$ молей водорода. В середине дна сосуда и в середине поршня закреплены точечные заряды противоположного знака. Определить теплоемкость такой системы. Теплоемкостью стенок цилиндра и поршня пренебречь. Сила тяжести пренебрежимо мала, снаружи системы вакуум. Диэлектрическую проницаемость считать постоянной во всем пространстве.
Решение:
Обозначим: $S$ - площадь поршня, $L$ - расстояние от поршня до дна сосуда. Пусть также $p, V = SL, T$ - давление, объем и температура газа соответственно, $q_{1}$ и $- q_{2}$ - заряды противоположного знака в поршне и дне, для определенности считаем, что $q_{1}$ и $q_{2}$ больше нуля.
Поршень находится в равновесии под действием силы Кулона, притягивающей его к дну, и силы давления газа, выталкивающей его из сосуда:
$F_{KL} = \frac{kq_{1}q_{2} }{L^{2} } = pS$. (1)
Перепишем это равенство так, чтобы справа образовалась величина $pV$ и воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева:
$\frac{kq_{1}q_{2} }{L} = pSL = pV = \nu RT$. (2)
Чтобы найти теплоемкость, рассмотрим нагревание газа на маленькую величину $\Delta T$ и посчитаем, сколько для этого необходимо тепла. Для этого вычислим энергию нашей системы, которая состоит из внутренней энергии газа $U$ и энергии взаимодействия зарядов $E = - kq_{1}q_{2}/L$ (заметим, что $E$ отрицательна, так как заряды имеют противоположные знаки). Водород - двухатомный газ, поэтому $U = C_{v} \Delta T = 5 \nu RT/2$. Из соотношения (2) видно, что $E = - \nu RT$. Итак, полная энергия системы
$U + E = \frac{5 \nu RT}{2} - \nu RT = \frac{3 \nu RT}{2}$. (3)
При увеличении температуры на $\Delta T$ должна увеличится на $3 \nu R \Delta T/2$.
Работы над системой "газ+поршень" при нагревании не совершается, так что энергия системы может увеличится лишь за счет подвода к ней тепла $\Delta Q = 3 \nu R \Delta T/2$. Отсюда теплоемкость системы $C = \Delta Q/ \Delta T = 3 \nu R/2$.
Казалось бы ответ задачи найден. И тем не менее, он неверен. Оказывается, положение механического равновесия системы, задаваемое ф-лой (1), неустойчиво.
Проверим это. Предположим, что система первоначально находится не в положении равновесия, а вблизи него. Например, будем считать, что расстояние между дном и поршнем $L^{ \prime} = L - \Delta L$. Давление $p^{ \prime}$ и температуру $T^{ \prime}$ будем считать мало отличающимися от равновесных $p$ и $T$. Выясним, куда будет направлена в первый момент сила, действующая на поршень, если его отпустить. Если $F = p^{ \prime}S - \frac{kq_{1}q_{2}}{L^{ \prime 2}} > 0$, то силa $F$ направлена к положению равновесия, и значит это положение устойчиво.
Уравнение Клайперона-Менделеева выполняется и для нового начального состояния системы: $p^{ \prime}SL^{ \prime} = \nu RT^{ \prime}$, поэтому $p^{ \prime}S = \nu RT^{ \prime}/L^{ \prime}$. Выражая $kq_{1}q_{2}$ из (2), и подставляя все в выражение для $F$, получим
$F = p^{ \prime} S - \frac{kq_{1}q_{2} }{ L^{ \prime 2} } = \frac{ \nu RT^{ \prime} }{L^{ \prime} } - \frac{ \nu RTL }{L^{ \prime 2} } = \frac{ \nu R}{L^{ \prime 2} } (L^{ \prime}T^{ \prime} - TL)$. (4)
Выясним, как связаны $T$ и $T^{ \prime}$. При установлении в системе равновесия полная энергия ее не меняется. Если поршень сдвигается вверх (из $L^{ \prime}$ в $L$) на $\Delta L$, а величина $L$ меняется мало ($\Delta L \ll L$), сила Кулона практически постоянна и равна $kq_{1}q_{2}/L^{2}$, а работа системы по увеличению потенциальной энергии зарядов $\Delta A = \Delta L \cdot \frac{kq_{1}q_{2}}{L^{2}}$. При этом внутренняя энергии газа уменьшается на $\Delta U = 5 \nu R(T^{ \prime} - T)/2 = 5 \nu R \Delta T/2$ по закону сохранения энергии
$\Delta A = \Delta U \Rightarrow \frac{kq_{1}q_{2} }{L^{2} } \Delta L = \frac{5 \nu R \Delta T}{2}$.
Снова используя здесь $kq_{1}q_{2} = \nu RTL$ из (2), получим
$\frac{ \nu RT}{L} \Delta L = \frac{5 \nu R \Delta T}{2} \Rightarrow T \Delta L = \frac{5}{2} L \Delta T$. (5)
Переписывая величину $(L^{ \prime}T^{ \prime} - TL)$ из (5) в виде
$(L^{ \prime}T^{ \prime} - TL) = (L - \Delta L)(T + \Delta T) - TL = L \Delta T - T \Delta L$
и используя (5), убеждаемся, что эта величина меньше нуля. Значит и $F < 0$, и система, сдвинутая из положения равновесия будет еще сильнее удаляться от него.
Если первоначально поршень балансировал в положении неустойчивого равновесия, то любая, сколь угодно малая теплота $\Delta Q$, введенная в систему, нарушит это равновесие. В результате температура газа изменится скачком. Значит, теплоемкость системы равна нулю.
Ответ: Теплоемкость системы равна нулю.
В цилиндре под поршнем содержится $\nu$ молей водорода. В середине дна сосуда и в середине поршня закреплены точечные заряды противоположного знака. Определить теплоемкость такой системы. Теплоемкостью стенок цилиндра и поршня пренебречь. Сила тяжести пренебрежимо мала, снаружи системы вакуум. Диэлектрическую проницаемость считать постоянной во всем пространстве.
Решение:
Обозначим: $S$ - площадь поршня, $L$ - расстояние от поршня до дна сосуда. Пусть также $p, V = SL, T$ - давление, объем и температура газа соответственно, $q_{1}$ и $- q_{2}$ - заряды противоположного знака в поршне и дне, для определенности считаем, что $q_{1}$ и $q_{2}$ больше нуля.
Поршень находится в равновесии под действием силы Кулона, притягивающей его к дну, и силы давления газа, выталкивающей его из сосуда:
$F_{KL} = \frac{kq_{1}q_{2} }{L^{2} } = pS$. (1)
Перепишем это равенство так, чтобы справа образовалась величина $pV$ и воспользуемся уравнением Клайперона-Менделеева:
$\frac{kq_{1}q_{2} }{L} = pSL = pV = \nu RT$. (2)
Чтобы найти теплоемкость, рассмотрим нагревание газа на маленькую величину $\Delta T$ и посчитаем, сколько для этого необходимо тепла. Для этого вычислим энергию нашей системы, которая состоит из внутренней энергии газа $U$ и энергии взаимодействия зарядов $E = - kq_{1}q_{2}/L$ (заметим, что $E$ отрицательна, так как заряды имеют противоположные знаки). Водород - двухатомный газ, поэтому $U = C_{v} \Delta T = 5 \nu RT/2$. Из соотношения (2) видно, что $E = - \nu RT$. Итак, полная энергия системы
$U + E = \frac{5 \nu RT}{2} - \nu RT = \frac{3 \nu RT}{2}$. (3)
При увеличении температуры на $\Delta T$ должна увеличится на $3 \nu R \Delta T/2$.
Работы над системой "газ+поршень" при нагревании не совершается, так что энергия системы может увеличится лишь за счет подвода к ней тепла $\Delta Q = 3 \nu R \Delta T/2$. Отсюда теплоемкость системы $C = \Delta Q/ \Delta T = 3 \nu R/2$.
Казалось бы ответ задачи найден. И тем не менее, он неверен. Оказывается, положение механического равновесия системы, задаваемое ф-лой (1), неустойчиво.
Проверим это. Предположим, что система первоначально находится не в положении равновесия, а вблизи него. Например, будем считать, что расстояние между дном и поршнем $L^{ \prime} = L - \Delta L$. Давление $p^{ \prime}$ и температуру $T^{ \prime}$ будем считать мало отличающимися от равновесных $p$ и $T$. Выясним, куда будет направлена в первый момент сила, действующая на поршень, если его отпустить. Если $F = p^{ \prime}S - \frac{kq_{1}q_{2}}{L^{ \prime 2}} > 0$, то силa $F$ направлена к положению равновесия, и значит это положение устойчиво.
Уравнение Клайперона-Менделеева выполняется и для нового начального состояния системы: $p^{ \prime}SL^{ \prime} = \nu RT^{ \prime}$, поэтому $p^{ \prime}S = \nu RT^{ \prime}/L^{ \prime}$. Выражая $kq_{1}q_{2}$ из (2), и подставляя все в выражение для $F$, получим
$F = p^{ \prime} S - \frac{kq_{1}q_{2} }{ L^{ \prime 2} } = \frac{ \nu RT^{ \prime} }{L^{ \prime} } - \frac{ \nu RTL }{L^{ \prime 2} } = \frac{ \nu R}{L^{ \prime 2} } (L^{ \prime}T^{ \prime} - TL)$. (4)
Выясним, как связаны $T$ и $T^{ \prime}$. При установлении в системе равновесия полная энергия ее не меняется. Если поршень сдвигается вверх (из $L^{ \prime}$ в $L$) на $\Delta L$, а величина $L$ меняется мало ($\Delta L \ll L$), сила Кулона практически постоянна и равна $kq_{1}q_{2}/L^{2}$, а работа системы по увеличению потенциальной энергии зарядов $\Delta A = \Delta L \cdot \frac{kq_{1}q_{2}}{L^{2}}$. При этом внутренняя энергии газа уменьшается на $\Delta U = 5 \nu R(T^{ \prime} - T)/2 = 5 \nu R \Delta T/2$ по закону сохранения энергии
$\Delta A = \Delta U \Rightarrow \frac{kq_{1}q_{2} }{L^{2} } \Delta L = \frac{5 \nu R \Delta T}{2}$.
Снова используя здесь $kq_{1}q_{2} = \nu RTL$ из (2), получим
$\frac{ \nu RT}{L} \Delta L = \frac{5 \nu R \Delta T}{2} \Rightarrow T \Delta L = \frac{5}{2} L \Delta T$. (5)
Переписывая величину $(L^{ \prime}T^{ \prime} - TL)$ из (5) в виде
$(L^{ \prime}T^{ \prime} - TL) = (L - \Delta L)(T + \Delta T) - TL = L \Delta T - T \Delta L$
и используя (5), убеждаемся, что эта величина меньше нуля. Значит и $F < 0$, и система, сдвинутая из положения равновесия будет еще сильнее удаляться от него.
Если первоначально поршень балансировал в положении неустойчивого равновесия, то любая, сколь угодно малая теплота $\Delta Q$, введенная в систему, нарушит это равновесие. В результате температура газа изменится скачком. Значит, теплоемкость системы равна нулю.
Ответ: Теплоемкость системы равна нулю.
