Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10259
2019-02-27 
Мощная машина разгоняется по ледяной дорожке, двигаясь горизонтально на отрезке длиной $l$, а затем пытается въехать на оледеневшую горку с углом наклона $\alpha$. Коэффициент трения колес о лед $\mu$. На какую максимальную высоту сможет въехать машина по горке?
Решение:
На горизонтальной дорожке даже самая мощная машина не может двигаться с ускорением, большим, чем $a_{1} = \mu g$. Действительно, двигатель лишь раскручивает колеса (см. рис.), Сила взаимодействия двигателя и колес - внутренняя и сама по себе не может сдвинуть машину, поэтому машина, помещенная на абсолютно скользкую дорогу, будет лишь буксовать на месте. Единственная внешняя сила, действующая на машину в проекции на горизонтальную ось - суммарная сила трения $F_{тр}$ всех колес о поверхность. Она не может превосходить силу трения скольжения $F_{тр}^{max} = \mu N = \mu mg$ и в предельном случае, когда колеса практически начинают проскальзывать по земле, обеспечивает максимальное ускорение $a_{1} = F_{тр}^{max}/m = \mu g$.
Рассмотрим силы, действующие на машину, когда она оказывается на горке (см. рис.) и найдем ее ускорение $a_{2}$. Записав второй закон Ньютона в проекции на оси Ox,Oy
$Oy : N - mg \cos \alpha = 0$,
$Ox : mg \sin \alpha - F_{тр} = ma_{2}$,
и выразив
$a_{2} = g \left ( \sin \alpha - \frac{F_{тр} }{m} \right )$
видим, что ускорение $a_{2}$ может иметь различное направление. Если $a_{2} < 0$ (направлено вверх по горке) машина может въехать сколь угодно высоко. Очевидно, это неинтересный случай.
Если $a_{2} > 0$ (направлено вниз по горке), машина на горе тормозится. Наиболее высоко она поднимется, когда $a_{2}$ минимально, т.е. когда сила трения максимальна. Это достигается, если двигатель работает так мощно, что колеса практически начинают проскальзывать:
$F_{тр} < F_{тр}^{max} = \mu N = \mu mg \cos \alpha, a_{2} = g( \sin \alpha - g \cos \alpha)$.
Наше предположение, что $a_{2} > 0$ эквивалентно условию $\mu < tg \alpha$.
Итак, сначала машина разгоняется на горизонтальной дорожке с ускорением $a_{1}$ и за некоторое время $t_{1}$ достигает некоторой максимальной скорости $V_{max}$. Затем она движется с ускорением $a_{2}$, направленным в противоположную движению сторону (замедляется), см. график на рис.
Так как ускорения машины $a_{1}, a_{2}$ на обоих отрезках известны, для скоростей справедливо
$V_{max} = a_{1} t_{1}, 0 = V_{max} - a_{2}t_{2}$, откуда $V_{max} = a_{1} t_{1} = a_{2}t_{2}, t_{1}/t_{2} = a_{2}/a_{1}$. (1)
Для пройденных путей верно следующее:
$L = \frac{a_{1}t_{1}^{2} }{2}, L^{ \prime} = V_{max}t_{2} - \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2} = a_{2}t_{2}^{2} - \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2} = \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2}$,
$L^{ \prime}$ - путь, пройденный машиной вдоль горки. Разделив $L$ на $L^{ \prime}$ и подставив $t_{1}/t_{2}$ из ф-лы (1), получим
$\frac{L}{L^{ \prime} } = \frac{a_{1}t_{1}^{2}}{a_{2}t_{2}^{2} } = \frac{a_{2} }{a_{1} } = \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \mu}$,
откуда легко выражается $L^{ \prime}$. Максимальная высота подъема машины на горку $H = L^{ \prime} \sin \alpha$.
Ответ: При $\mu \geq tg \alpha$ машина въедет сколь угодно высоко. При $\mu < tg \alpha$ максимальный путь машины вдоль горки составит $L^{ \prime} = L \mu /( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$, а высота подъема $H = L^{ \prime} \sin \alpha$.
Мощная машина разгоняется по ледяной дорожке, двигаясь горизонтально на отрезке длиной $l$, а затем пытается въехать на оледеневшую горку с углом наклона $\alpha$. Коэффициент трения колес о лед $\mu$. На какую максимальную высоту сможет въехать машина по горке?
Решение:
На горизонтальной дорожке даже самая мощная машина не может двигаться с ускорением, большим, чем $a_{1} = \mu g$. Действительно, двигатель лишь раскручивает колеса (см. рис.), Сила взаимодействия двигателя и колес - внутренняя и сама по себе не может сдвинуть машину, поэтому машина, помещенная на абсолютно скользкую дорогу, будет лишь буксовать на месте. Единственная внешняя сила, действующая на машину в проекции на горизонтальную ось - суммарная сила трения $F_{тр}$ всех колес о поверхность. Она не может превосходить силу трения скольжения $F_{тр}^{max} = \mu N = \mu mg$ и в предельном случае, когда колеса практически начинают проскальзывать по земле, обеспечивает максимальное ускорение $a_{1} = F_{тр}^{max}/m = \mu g$.
Рассмотрим силы, действующие на машину, когда она оказывается на горке (см. рис.) и найдем ее ускорение $a_{2}$. Записав второй закон Ньютона в проекции на оси Ox,Oy
$Oy : N - mg \cos \alpha = 0$,
$Ox : mg \sin \alpha - F_{тр} = ma_{2}$,
и выразив
$a_{2} = g \left ( \sin \alpha - \frac{F_{тр} }{m} \right )$
видим, что ускорение $a_{2}$ может иметь различное направление. Если $a_{2} < 0$ (направлено вверх по горке) машина может въехать сколь угодно высоко. Очевидно, это неинтересный случай.
Если $a_{2} > 0$ (направлено вниз по горке), машина на горе тормозится. Наиболее высоко она поднимется, когда $a_{2}$ минимально, т.е. когда сила трения максимальна. Это достигается, если двигатель работает так мощно, что колеса практически начинают проскальзывать:
$F_{тр} < F_{тр}^{max} = \mu N = \mu mg \cos \alpha, a_{2} = g( \sin \alpha - g \cos \alpha)$.
Наше предположение, что $a_{2} > 0$ эквивалентно условию $\mu < tg \alpha$.
Итак, сначала машина разгоняется на горизонтальной дорожке с ускорением $a_{1}$ и за некоторое время $t_{1}$ достигает некоторой максимальной скорости $V_{max}$. Затем она движется с ускорением $a_{2}$, направленным в противоположную движению сторону (замедляется), см. график на рис.
Так как ускорения машины $a_{1}, a_{2}$ на обоих отрезках известны, для скоростей справедливо
$V_{max} = a_{1} t_{1}, 0 = V_{max} - a_{2}t_{2}$, откуда $V_{max} = a_{1} t_{1} = a_{2}t_{2}, t_{1}/t_{2} = a_{2}/a_{1}$. (1)
Для пройденных путей верно следующее:
$L = \frac{a_{1}t_{1}^{2} }{2}, L^{ \prime} = V_{max}t_{2} - \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2} = a_{2}t_{2}^{2} - \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2} = \frac{a_{2}t_{2}^{2} }{2}$,
$L^{ \prime}$ - путь, пройденный машиной вдоль горки. Разделив $L$ на $L^{ \prime}$ и подставив $t_{1}/t_{2}$ из ф-лы (1), получим
$\frac{L}{L^{ \prime} } = \frac{a_{1}t_{1}^{2}}{a_{2}t_{2}^{2} } = \frac{a_{2} }{a_{1} } = \frac{ \sin \alpha - \mu \cos \alpha}{ \mu}$,
откуда легко выражается $L^{ \prime}$. Максимальная высота подъема машины на горку $H = L^{ \prime} \sin \alpha$.
Ответ: При $\mu \geq tg \alpha$ машина въедет сколь угодно высоко. При $\mu < tg \alpha$ максимальный путь машины вдоль горки составит $L^{ \prime} = L \mu /( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$, а высота подъема $H = L^{ \prime} \sin \alpha$.
