Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10258
2019-02-27 
У любознательного экспериментатора есть три калориметра: А, В, С. В сосуде А находится вода массой 1 кг при температуре $95^{ \circ} С$, в емкости В - вода при температуре $65^{ \circ} С$, в $C - 100$% этиловый спирт (этанол) массой 0,07 кг при температуре $53^{ \circ} С$. Температура кипения спирта $78^{ \circ} С$. Экспериментатор проводит две серии опытов. В первый раз он сначала переливает воду из сосуда А в этанол. После установления равновесия он добавляет воду из сосуда В и получает смесь при температуре $75^{ \circ} С$. Во второй серии экспериментов он сначала сливает воду из А с водой из В. дожидается установления равновесия, а потом добавляет этанол. Пренебрегая теплообменом калориметров с окружающей средой, определите результаты второй серии опытов, а именно, найдите температуру смеси и массовую долю спирта. Удельная теплоемкость воды равняется $4200 Дж/кг \cdot ^{ \circ} К$, теплоемкость спирта $2400 Дж/кг \cdot ^{ \circ} К$, удельная теплота парообразования спирта 840 кДж/кг.
Решение:
Введем следующие обозначения: $m_{A}$ - масса воды из калориметра $A$, $m_{B}$ - масса воды из емкости $B$, $m_{c}$ - масса этилового спирта, $c$ - теплоемкость воды, $c_{c}$ - теплоемкость этанола, $r_{c}$ - его удельная теплота парообразования.
Рассмотрим первую серию экспериментов. Экспериментатор сливает воду из емкости A и этиловый спирт из сосуда C. При этом вода начинает остывать, а этанол нагреваться. Оценим, сколько теплоты должен получить спирт, чтобы нагреться от начальной температуры до температуры кипения:
$Q_{1} = c_{c} m_{c} (78^{ \circ} С - 53^{ \circ} С) = 4200 Дж$.
Очевидно, что, выделив такое количество теплоты, вода охладится только на один градус (как известно, при остывании одного килограмма воды на один градус выделяется 4200 Дж -таково определение удельной теплоемкости). При дальнейшем остывании воды спирт начнет кипеть.
Оценим теперь энергию, необходимую на испарение всего спирта:
$Q_{2} = r_{c}m_{c} = 58800 Дж$.
Вода, потеряв эту теплоту, остынет на $Q_{2}/(m_{A}c)$ градусов, что соответствует уменьшению температуры еще на $14^{ \circ} С$. Следовательно температура воды станет $80^{ \circ} С$, и это все еще больше температуры кипения спирта. Итак, этанол полностью выкипит.
Таким образом, в результате первого сливания, экспериментатор получит $m_{A} = 1 кг$ воды при температуре $80^{ \circ} С$.
После этого, экспериментатор доливает воду из калориметра B. Напишем уравнение теплового баланса:
$cm_{A}(80^{ \circ} С - 75^{ \circ} С) = cm_{B}(75^{ \circ} С - 65^{ \circ} С)$.
Из последнего равенства можно найти массу воды в емкости B. Она оказывается равной 0,5 кг.
Обратимся ко второй серии опытов. Сначала экспериментатор сливает воду из сосуда A и воду из емкости B. Определим установившуюся температуру $t_{x}$ полученных $m_{A} + m_{B} = 1,5 кг$ воды при помощи уравнения теплового баланса
$cm_{A} (95^{ \circ} C - t_{x}) = cm_{B} (t_{x} - 65^{ \circ} С)$.
Разрешив уравнение, получаем: $t_{x} = 85^{ \circ} С$.
Как мы уже знаем, на нагрев спирта до температуры кипения и последующее его испарение, требуется 4200 Дж + 58800 Дж = 63000 Дж. Заметим, что 1,5 кг воды, охладившись от $85^{ \circ} С$ до $78^{ \circ} С$, выделят только теплоту
$Q_{3} = c(m_{A} + m_{B})(85^{ \circ} C - 78^{ \circ} C) = 44100 Дж$.
Следовательно, во второй серии опытов спирт выкипит не весь, конечная температура смеси составит $78^{ \circ} С$.
Пусть $\alpha$ - доля выкипевшего этанола (т.е. $\alpha m_{c}$ - масса выкипевшего этанола). Тогда можно написать следующее уравнение баланса:
$Q_{3} = Q_{1} + \alpha m_{c}r_{c} \Rightarrow \alpha = \frac{Q_{3} - Q_{1} }{m_{c}r_{c} } \approx 0,68$
Таким образом, масса оставшегося в смеси этанола $\Delta m = (1 - \alpha)m_{c} = 0,0225 кг$. Отсюда сразу получаем, что массовая доля его в конечном растворе равна приблизительно $\Delta m/(m_{A} + m_{B}) \cdot 100 = 1, 5$%.
Ответ: Конечная температура смеси $78^{ \circ} С$, массовая доля спирта приблизительно 1,5%.
У любознательного экспериментатора есть три калориметра: А, В, С. В сосуде А находится вода массой 1 кг при температуре $95^{ \circ} С$, в емкости В - вода при температуре $65^{ \circ} С$, в $C - 100$% этиловый спирт (этанол) массой 0,07 кг при температуре $53^{ \circ} С$. Температура кипения спирта $78^{ \circ} С$. Экспериментатор проводит две серии опытов. В первый раз он сначала переливает воду из сосуда А в этанол. После установления равновесия он добавляет воду из сосуда В и получает смесь при температуре $75^{ \circ} С$. Во второй серии экспериментов он сначала сливает воду из А с водой из В. дожидается установления равновесия, а потом добавляет этанол. Пренебрегая теплообменом калориметров с окружающей средой, определите результаты второй серии опытов, а именно, найдите температуру смеси и массовую долю спирта. Удельная теплоемкость воды равняется $4200 Дж/кг \cdot ^{ \circ} К$, теплоемкость спирта $2400 Дж/кг \cdot ^{ \circ} К$, удельная теплота парообразования спирта 840 кДж/кг.
Решение:
Введем следующие обозначения: $m_{A}$ - масса воды из калориметра $A$, $m_{B}$ - масса воды из емкости $B$, $m_{c}$ - масса этилового спирта, $c$ - теплоемкость воды, $c_{c}$ - теплоемкость этанола, $r_{c}$ - его удельная теплота парообразования.
Рассмотрим первую серию экспериментов. Экспериментатор сливает воду из емкости A и этиловый спирт из сосуда C. При этом вода начинает остывать, а этанол нагреваться. Оценим, сколько теплоты должен получить спирт, чтобы нагреться от начальной температуры до температуры кипения:
$Q_{1} = c_{c} m_{c} (78^{ \circ} С - 53^{ \circ} С) = 4200 Дж$.
Очевидно, что, выделив такое количество теплоты, вода охладится только на один градус (как известно, при остывании одного килограмма воды на один градус выделяется 4200 Дж -таково определение удельной теплоемкости). При дальнейшем остывании воды спирт начнет кипеть.
Оценим теперь энергию, необходимую на испарение всего спирта:
$Q_{2} = r_{c}m_{c} = 58800 Дж$.
Вода, потеряв эту теплоту, остынет на $Q_{2}/(m_{A}c)$ градусов, что соответствует уменьшению температуры еще на $14^{ \circ} С$. Следовательно температура воды станет $80^{ \circ} С$, и это все еще больше температуры кипения спирта. Итак, этанол полностью выкипит.
Таким образом, в результате первого сливания, экспериментатор получит $m_{A} = 1 кг$ воды при температуре $80^{ \circ} С$.
После этого, экспериментатор доливает воду из калориметра B. Напишем уравнение теплового баланса:
$cm_{A}(80^{ \circ} С - 75^{ \circ} С) = cm_{B}(75^{ \circ} С - 65^{ \circ} С)$.
Из последнего равенства можно найти массу воды в емкости B. Она оказывается равной 0,5 кг.
Обратимся ко второй серии опытов. Сначала экспериментатор сливает воду из сосуда A и воду из емкости B. Определим установившуюся температуру $t_{x}$ полученных $m_{A} + m_{B} = 1,5 кг$ воды при помощи уравнения теплового баланса
$cm_{A} (95^{ \circ} C - t_{x}) = cm_{B} (t_{x} - 65^{ \circ} С)$.
Разрешив уравнение, получаем: $t_{x} = 85^{ \circ} С$.
Как мы уже знаем, на нагрев спирта до температуры кипения и последующее его испарение, требуется 4200 Дж + 58800 Дж = 63000 Дж. Заметим, что 1,5 кг воды, охладившись от $85^{ \circ} С$ до $78^{ \circ} С$, выделят только теплоту
$Q_{3} = c(m_{A} + m_{B})(85^{ \circ} C - 78^{ \circ} C) = 44100 Дж$.
Следовательно, во второй серии опытов спирт выкипит не весь, конечная температура смеси составит $78^{ \circ} С$.
Пусть $\alpha$ - доля выкипевшего этанола (т.е. $\alpha m_{c}$ - масса выкипевшего этанола). Тогда можно написать следующее уравнение баланса:
$Q_{3} = Q_{1} + \alpha m_{c}r_{c} \Rightarrow \alpha = \frac{Q_{3} - Q_{1} }{m_{c}r_{c} } \approx 0,68$
Таким образом, масса оставшегося в смеси этанола $\Delta m = (1 - \alpha)m_{c} = 0,0225 кг$. Отсюда сразу получаем, что массовая доля его в конечном растворе равна приблизительно $\Delta m/(m_{A} + m_{B}) \cdot 100 = 1, 5$%.
Ответ: Конечная температура смеси $78^{ \circ} С$, массовая доля спирта приблизительно 1,5%.
