Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10256
2019-02-27 
Незадачливые артиллеристы стреляют из пушки, стоящей на наклонной плоскости. В момент выстрела пушка срывается с креплений и начинает соскальзывать вниз с нулевой начальной скоростью. Ядро вылетает и попадает в соскальзывающую пушку (см. рисунок). Коэффициент трения скольжения пушки о плоскость равен $\mu$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите под каким углом к наклонной плоскости вылетело ядро из пушки.
Решение:
Обозначим угол наклона плоскости через $\alpha$, начальную скорость ядра - через $v$, массу пушки - через $m$.
Введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис.), а именно, начало координат O совместим с первоначальным положением пушки, ось Ox направим вдоль наклонной плоскости, а ось Oy - перпендикулярно ей.
Будем описывать движение ядра и пушки в этой системе координат.
Сперва рассмотрим движение пушки после выстрела. Силы, действующие на соскальзывающую пушку обозначены на рис. Напишем второй закон Ньютона для пушки в проекциях на оси:
$Ox : - F + mg \sin \alpha = ma$;
$Oy : N - mg \cos \alpha = 0$,
откуда можно выразить $F$ и $N$. Так как $F = \mu N$, получаем, что ускорение пушки:
$a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$
Рассмотрим теперь движение ядра. В используемой системе координат и по оси Ox, и по оси Oy ядро движется равноускоренно. Из рис. видно, что проекции ускорения ядра на соответствующие оси $g_{1} = -g \cos \alpha, g_{2} = g \sin \alpha$. Уравнения, описывающие движения ядра, следующие:
$y(t) = v \sin \beta t + \frac{g_{1}t^{2} }{2}; x(t) = v \cos \beta t + \frac{g_{2}t^{2} }{2}$.
Из первого уравнения находим время полета ядра: $T = -2v \sin \beta/g_{1}$. В этот момент времени, ядро окажется в точке
$x(T) = v \cos \beta \frac{-2v \sin \beta}{g_{1} } + \frac{g_{2}4v^{2} \sin^{2} \beta }{2g_{1}^{2}} = v \cos \beta \frac{2 v \sin \beta}{g \cos \alpha} + \frac{2v^{2} \sin \alpha \sin^{2} \beta }{g \cos^{2} \alpha }$,
a пушка съедет на расстояние
$S = \frac{aT^{2}}{2} = \frac{2( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)v^{2} \sin^{2} \beta}{g \cos^{2} \alpha}$
Приравнивая $S$ и $x(T)$, после сокращения общих множителей получаем: $- \cos \beta = \mu \sin \beta$, откуда немедленно следует ответ для $\beta$. Так как $\mu > 0$, угол $\beta$ всегда будет превосходить $\pi /2$.
Ответ: Угол вылета снаряда $\beta = arcctg(- \mu)$, величина $\beta > \pi /2$.
Незадачливые артиллеристы стреляют из пушки, стоящей на наклонной плоскости. В момент выстрела пушка срывается с креплений и начинает соскальзывать вниз с нулевой начальной скоростью. Ядро вылетает и попадает в соскальзывающую пушку (см. рисунок). Коэффициент трения скольжения пушки о плоскость равен $\mu$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите под каким углом к наклонной плоскости вылетело ядро из пушки.
Решение:
Обозначим угол наклона плоскости через $\alpha$, начальную скорость ядра - через $v$, массу пушки - через $m$.
Введем систему координат, связанную с наклонной плоскостью (см. рис.), а именно, начало координат O совместим с первоначальным положением пушки, ось Ox направим вдоль наклонной плоскости, а ось Oy - перпендикулярно ей.
Будем описывать движение ядра и пушки в этой системе координат.
Сперва рассмотрим движение пушки после выстрела. Силы, действующие на соскальзывающую пушку обозначены на рис. Напишем второй закон Ньютона для пушки в проекциях на оси:
$Ox : - F + mg \sin \alpha = ma$;
$Oy : N - mg \cos \alpha = 0$,
откуда можно выразить $F$ и $N$. Так как $F = \mu N$, получаем, что ускорение пушки:
$a = g ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)$
Рассмотрим теперь движение ядра. В используемой системе координат и по оси Ox, и по оси Oy ядро движется равноускоренно. Из рис. видно, что проекции ускорения ядра на соответствующие оси $g_{1} = -g \cos \alpha, g_{2} = g \sin \alpha$. Уравнения, описывающие движения ядра, следующие:
$y(t) = v \sin \beta t + \frac{g_{1}t^{2} }{2}; x(t) = v \cos \beta t + \frac{g_{2}t^{2} }{2}$.
Из первого уравнения находим время полета ядра: $T = -2v \sin \beta/g_{1}$. В этот момент времени, ядро окажется в точке
$x(T) = v \cos \beta \frac{-2v \sin \beta}{g_{1} } + \frac{g_{2}4v^{2} \sin^{2} \beta }{2g_{1}^{2}} = v \cos \beta \frac{2 v \sin \beta}{g \cos \alpha} + \frac{2v^{2} \sin \alpha \sin^{2} \beta }{g \cos^{2} \alpha }$,
a пушка съедет на расстояние
$S = \frac{aT^{2}}{2} = \frac{2( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)v^{2} \sin^{2} \beta}{g \cos^{2} \alpha}$
Приравнивая $S$ и $x(T)$, после сокращения общих множителей получаем: $- \cos \beta = \mu \sin \beta$, откуда немедленно следует ответ для $\beta$. Так как $\mu > 0$, угол $\beta$ всегда будет превосходить $\pi /2$.
Ответ: Угол вылета снаряда $\beta = arcctg(- \mu)$, величина $\beta > \pi /2$.
