Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10252
2019-02-27 
Кипятильник представляет собой резистор длиной $l$, сопротивление единицы длины постоянно и равно $\lambda$. Кипятильник медленно, со скоростью $v$, погружают вертикально на глубину $h$ в стакан воды, причем $h > l$, а затем с такой же скоростью вынимают. Кипятильник включен в сеть с постоянным напряжением $U$, теплоемкость стакана вместе с водой $C$. Пренебрегая тепловыми потерями и вязкостью жидкости, найти изменение температуры воды в результате такого нагревания.
Решение:
За малое время $\Delta t$ кипятильник передает воде теплоту $\Delta Q = I^{2}r(t) \Delta t$, где $r(t)$ - сопротивление погруженной части кипятильника, которое меняется в процессе погружения, а $I = U/( \lambda l)$ - постоянный во времени ток через кипятильник.
В задаче, фактически, требуется просуммировать величины $\Delta Q$ на всех промежутках времени. При этом величину $I^{2}$ можно вынести из суммы как общий множитель. Таким образом, требуется просуммировать величины $r(t) \Delta t$.
Найдем зависимость $r(t)$ и построим ее график. Кипятильник проводит в воде время $t_{0} = 2h/v$. Начальный промежуток времени $t_{1} = l/v$ он погружен не полностью, сопротивление погруженной части равномерно увеличивается до $r_{max} = \lambda l$, затем, в течение времени $t_{0} - 2t_{1}$, сопротивление погруженной части не меняется, и, наконец, конечный промежуток времени $t_{1}$ сопротивление равномерно уменьшается, см. рис.
Можно понять, что искомая сумма величин $r(t) \Delta t$ соответствует площади под графиком $r(t)$. Действительно, разбив график на узкие прямоугольники высотой $r(t)$ и шириной $\Delta t$, замечаем, что площадь каждого такого прямоугольника как раз равна одному слагаемому искомой величины. Чем меньше величина $\Delta t$, тем лучше сумма площадей прямоугольников приближается к площади под графиком.
Итак, полная переданная теплота $Q = SU^{2}/( \lambda^{2}l^{2})$, где $S$ - площадь трапеции под графиком. Основания трапеции $t_{0}$ и $t_{0} - 2t_{1}$, ее высота $r_{max}$, поэтому $S = (2h - l) \lambda l/v$.
Изменение температуры системы при этом составит $\Delta T = Q/C$.
Ответ: температура воды воды увеличится на
$\Delta T = \frac{U^{2}(2h - l) }{C \lambda vl}$.
Кипятильник представляет собой резистор длиной $l$, сопротивление единицы длины постоянно и равно $\lambda$. Кипятильник медленно, со скоростью $v$, погружают вертикально на глубину $h$ в стакан воды, причем $h > l$, а затем с такой же скоростью вынимают. Кипятильник включен в сеть с постоянным напряжением $U$, теплоемкость стакана вместе с водой $C$. Пренебрегая тепловыми потерями и вязкостью жидкости, найти изменение температуры воды в результате такого нагревания.
Решение:
За малое время $\Delta t$ кипятильник передает воде теплоту $\Delta Q = I^{2}r(t) \Delta t$, где $r(t)$ - сопротивление погруженной части кипятильника, которое меняется в процессе погружения, а $I = U/( \lambda l)$ - постоянный во времени ток через кипятильник.
В задаче, фактически, требуется просуммировать величины $\Delta Q$ на всех промежутках времени. При этом величину $I^{2}$ можно вынести из суммы как общий множитель. Таким образом, требуется просуммировать величины $r(t) \Delta t$.
Найдем зависимость $r(t)$ и построим ее график. Кипятильник проводит в воде время $t_{0} = 2h/v$. Начальный промежуток времени $t_{1} = l/v$ он погружен не полностью, сопротивление погруженной части равномерно увеличивается до $r_{max} = \lambda l$, затем, в течение времени $t_{0} - 2t_{1}$, сопротивление погруженной части не меняется, и, наконец, конечный промежуток времени $t_{1}$ сопротивление равномерно уменьшается, см. рис.
Можно понять, что искомая сумма величин $r(t) \Delta t$ соответствует площади под графиком $r(t)$. Действительно, разбив график на узкие прямоугольники высотой $r(t)$ и шириной $\Delta t$, замечаем, что площадь каждого такого прямоугольника как раз равна одному слагаемому искомой величины. Чем меньше величина $\Delta t$, тем лучше сумма площадей прямоугольников приближается к площади под графиком.
Итак, полная переданная теплота $Q = SU^{2}/( \lambda^{2}l^{2})$, где $S$ - площадь трапеции под графиком. Основания трапеции $t_{0}$ и $t_{0} - 2t_{1}$, ее высота $r_{max}$, поэтому $S = (2h - l) \lambda l/v$.
Изменение температуры системы при этом составит $\Delta T = Q/C$.
Ответ: температура воды воды увеличится на
$\Delta T = \frac{U^{2}(2h - l) }{C \lambda vl}$.
