Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10242
2019-02-27 
На расстоянии $L$ от тонкой линзы, на ее главной оптической оси, расположен точечный источник света. Диаметр линзы $D$, фокусное расстояние $F (L > F)$. Между источником и линзой расположено цилиндрическое зеркало радиуса $R$ длиной $b (b < L)$; источник находится на срезе цилиндра. Главная оптическая ось и ось цилиндра совпадают. Постройте все изображения источника в линзе.
Решение:
Во-первых, существует изображение, образованное лучами, идущими от источника прямо к линзе. Это изображение - точка, расположенная на расстоянии $d$ от линзы, величина $d$ вычисляется с помощью формулы тонкой линзы:
$\frac{1}{L} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F} \Rightarrow d = \frac{LF}{L - F}$.
Однако, некоторые лучи попадут на линзу, отразившись от цилиндрического зеркала. Зеркало создает мнимые изображения источника - кольца радиуса $r_{1} = 2R, r_{2} = 4R \cdots , r_{n} = 2nR$ и т.д. расположенные в плоскости среза трубы ($n$ - натуральное число). Одно из таких колец изображено на рис.
Любой луч света в процессе всех отражений и преломлений остается в одной плоскости (которая содержит и ось трубы). Значит, достаточно рассмотреть лишь ход лучей в плоскости рисунка, содержащей эту ось.
Каждая точка рассмотренных колец $r_{n}$ находится от плоскости линзы на расстоянии $L$. Значит изображение этих колец в линзе будет расположено на уже найденном расстоянии $d$. Изображения в линзе колец $r_{n}$ также будут кольцами, их радиусы изменятся в $d/L$ раз и станут равными $r_{n}^{ \prime} = 2Rnd/L$.
Однако, лучи от некоторых колец в зеркале могут и не попасть на линзу, поэтому некоторые кольца $r_{n}$ не дают изображений в линзе. Чтобы изображение получилось, прямая, проведенная через какую-нибудь точку кольца rn и край линзы, должна пересекать цилиндрическое зеркало, см. рис. Написав пропорцию (см подобие выделенных треугольников на рисунке)
$\frac{r_{n} - R}{b} = \frac{R + D/2}{L - b}$,
определим, что таковым свойством обладают мнимые изображения с номером, не большим
$n = \frac{1}{2} + \frac{b(R + D/2)}{2R(L-b)}$.
Ответ: Все изображения будут располагаться в плоскости, отстоящей от линзы на расстоянии $d$, в центре плоскости (на оптической оси) будет светящаяся точка, а вокруг нее конечное число кругов радиуса $r_{n}^{ \prime} = 2Rnd/L$, где $n$ - натуральное число, не превосходящее
$\frac{1}{2} + \frac{b(R + D/2)}{2R(L - b) }$.
На расстоянии $L$ от тонкой линзы, на ее главной оптической оси, расположен точечный источник света. Диаметр линзы $D$, фокусное расстояние $F (L > F)$. Между источником и линзой расположено цилиндрическое зеркало радиуса $R$ длиной $b (b < L)$; источник находится на срезе цилиндра. Главная оптическая ось и ось цилиндра совпадают. Постройте все изображения источника в линзе.
Решение:
Во-первых, существует изображение, образованное лучами, идущими от источника прямо к линзе. Это изображение - точка, расположенная на расстоянии $d$ от линзы, величина $d$ вычисляется с помощью формулы тонкой линзы:
$\frac{1}{L} + \frac{1}{d} = \frac{1}{F} \Rightarrow d = \frac{LF}{L - F}$.
Однако, некоторые лучи попадут на линзу, отразившись от цилиндрического зеркала. Зеркало создает мнимые изображения источника - кольца радиуса $r_{1} = 2R, r_{2} = 4R \cdots , r_{n} = 2nR$ и т.д. расположенные в плоскости среза трубы ($n$ - натуральное число). Одно из таких колец изображено на рис.
Любой луч света в процессе всех отражений и преломлений остается в одной плоскости (которая содержит и ось трубы). Значит, достаточно рассмотреть лишь ход лучей в плоскости рисунка, содержащей эту ось.
Каждая точка рассмотренных колец $r_{n}$ находится от плоскости линзы на расстоянии $L$. Значит изображение этих колец в линзе будет расположено на уже найденном расстоянии $d$. Изображения в линзе колец $r_{n}$ также будут кольцами, их радиусы изменятся в $d/L$ раз и станут равными $r_{n}^{ \prime} = 2Rnd/L$.
Однако, лучи от некоторых колец в зеркале могут и не попасть на линзу, поэтому некоторые кольца $r_{n}$ не дают изображений в линзе. Чтобы изображение получилось, прямая, проведенная через какую-нибудь точку кольца rn и край линзы, должна пересекать цилиндрическое зеркало, см. рис. Написав пропорцию (см подобие выделенных треугольников на рисунке)
$\frac{r_{n} - R}{b} = \frac{R + D/2}{L - b}$,
определим, что таковым свойством обладают мнимые изображения с номером, не большим
$n = \frac{1}{2} + \frac{b(R + D/2)}{2R(L-b)}$.
Ответ: Все изображения будут располагаться в плоскости, отстоящей от линзы на расстоянии $d$, в центре плоскости (на оптической оси) будет светящаяся точка, а вокруг нее конечное число кругов радиуса $r_{n}^{ \prime} = 2Rnd/L$, где $n$ - натуральное число, не превосходящее
$\frac{1}{2} + \frac{b(R + D/2)}{2R(L - b) }$.
