Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 10241
2019-02-27 
На расстоянии $L$ от стенки стоит табуретка высотой $H$. Между краем сидения табуретки и стеной горизонтально протянута невесомая нерастяжимая нить длинной $L +l (l \ll L)$. Оказалось, что на середину этой нити можно повесить максимальный груз массой $m$, при большем грузе табуретка опрокидывается. Гоша собирается заменить нить эластичным резиновым жгутом той же длины, причем планирует подобрать жесткость жгута так, чтобы посередине мог висеть, не касаясь пола, максимально тяжелый груз. Груз какой максимальной массы сможет повесить Гоша? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Табуретка опрокидывается некоторым моментом силы. В обоих случаях этот момент равен произведению $H$ на горизонтальную проекцию опрокидывающей силы.
В первом случае эта проекция равна $F_{0} = T \cos \alpha$, где $T$ - натяжение нити, а $\alpha$ - угол, который нить образует с горизонталью. Из условия задачи нить нерастяжима и провисает слабо, поэтому
$\cos \alpha = L/(L + l) \approx 1, \Rightarrow F_{0} \approx T$.
Условие равновесия груза на нити позволяет найти ее натяжение:
$mg = 2T \sin \alpha = 2F_{0} \sin \alpha = 2F_{0} \sqrt{ 1 - \frac{L^{2} }{(L + l)^{2} } } \approx F_{0} \sqrt{ \frac{8l}{L} }$,
отсюда $F_{0} = mg \sqrt{L/(8l)}$.
Пусть вместо нити используется жгут. Чтобы груз не касался пола, во-первых, табуретка не должна перевернуться, а во-вторых, груз не должен провиснуть до пола.
Пусть искомый груз $M$ висит на середине жгута, при этом растянутый жгут образует с горизонталью угол $\beta$. Пусть больший груз переворачивает табуретку. В зависимости от жесткости жгута величина $\beta$ может меняться от нуля, если жгут бесконечно жесткий, до $\pi /2$, если жгут бесконечно мягкий (в последнем случае, конечно, груз не сможет висеть, не касаясь пола)
Условие равновесия груза на жгуте
$2T^{ \prime} \sin \beta = Mg$. (1)
Опрокидывание табуретки произойдет, если горизонтальная проекция опрокидывающей силы сравняется $F_{0}$:
$T^{ \prime} \cos \beta = F_{0}$. (2)
Разделив уравнения друг на друга, получим
$tg \beta = \frac{Mg}{2F_{0} }$. (3)
Значение $\beta$ зависит от жесткости жгута, который выберет Гоша - на самом деле, систему (1, 2) можно дополнить законом Гука $T^{ \prime} = k(L/ \cos \beta - L)$ и получить $T^{ \prime}M$ и в как функцию $k$.
Однако, для решения задачи это не нужно. Видно, что чем больше $\beta$, тем больше $M$. Максимальное значение $\beta$ соответствует ситуации, когда опрокидывающий табуретку груз почти касается пола, то есть при $tg \beta = H/(L/2)$. Соответствующий груз будет иметь массу, соответствующую условию (3), т.е.
$\frac{2H}{L} = \frac{Mg}{2F_{0} } \Rightarrow M = \frac{4F_{0}H }{Lg} = \frac{2mH}{L} \sqrt{ \frac{L}{8l} }$.
Чтобы Гоша смог подвесить такой груз, ему придется правильно подобрать жесткость жгута: жгут должен иметь достаточную жесткость, чтобы удерживать груз над полом, но не должен быть слишком жесткий, чтобы не перевернулась табуретка.
Ответ: Максимальная масса груза $M = 4mH/\sqrt{8lL}$.
На расстоянии $L$ от стенки стоит табуретка высотой $H$. Между краем сидения табуретки и стеной горизонтально протянута невесомая нерастяжимая нить длинной $L +l (l \ll L)$. Оказалось, что на середину этой нити можно повесить максимальный груз массой $m$, при большем грузе табуретка опрокидывается. Гоша собирается заменить нить эластичным резиновым жгутом той же длины, причем планирует подобрать жесткость жгута так, чтобы посередине мог висеть, не касаясь пола, максимально тяжелый груз. Груз какой максимальной массы сможет повесить Гоша? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Табуретка опрокидывается некоторым моментом силы. В обоих случаях этот момент равен произведению $H$ на горизонтальную проекцию опрокидывающей силы.
В первом случае эта проекция равна $F_{0} = T \cos \alpha$, где $T$ - натяжение нити, а $\alpha$ - угол, который нить образует с горизонталью. Из условия задачи нить нерастяжима и провисает слабо, поэтому
$\cos \alpha = L/(L + l) \approx 1, \Rightarrow F_{0} \approx T$.
Условие равновесия груза на нити позволяет найти ее натяжение:
$mg = 2T \sin \alpha = 2F_{0} \sin \alpha = 2F_{0} \sqrt{ 1 - \frac{L^{2} }{(L + l)^{2} } } \approx F_{0} \sqrt{ \frac{8l}{L} }$,
отсюда $F_{0} = mg \sqrt{L/(8l)}$.
Пусть вместо нити используется жгут. Чтобы груз не касался пола, во-первых, табуретка не должна перевернуться, а во-вторых, груз не должен провиснуть до пола.
Пусть искомый груз $M$ висит на середине жгута, при этом растянутый жгут образует с горизонталью угол $\beta$. Пусть больший груз переворачивает табуретку. В зависимости от жесткости жгута величина $\beta$ может меняться от нуля, если жгут бесконечно жесткий, до $\pi /2$, если жгут бесконечно мягкий (в последнем случае, конечно, груз не сможет висеть, не касаясь пола)
Условие равновесия груза на жгуте
$2T^{ \prime} \sin \beta = Mg$. (1)
Опрокидывание табуретки произойдет, если горизонтальная проекция опрокидывающей силы сравняется $F_{0}$:
$T^{ \prime} \cos \beta = F_{0}$. (2)
Разделив уравнения друг на друга, получим
$tg \beta = \frac{Mg}{2F_{0} }$. (3)
Значение $\beta$ зависит от жесткости жгута, который выберет Гоша - на самом деле, систему (1, 2) можно дополнить законом Гука $T^{ \prime} = k(L/ \cos \beta - L)$ и получить $T^{ \prime}M$ и в как функцию $k$.
Однако, для решения задачи это не нужно. Видно, что чем больше $\beta$, тем больше $M$. Максимальное значение $\beta$ соответствует ситуации, когда опрокидывающий табуретку груз почти касается пола, то есть при $tg \beta = H/(L/2)$. Соответствующий груз будет иметь массу, соответствующую условию (3), т.е.
$\frac{2H}{L} = \frac{Mg}{2F_{0} } \Rightarrow M = \frac{4F_{0}H }{Lg} = \frac{2mH}{L} \sqrt{ \frac{L}{8l} }$.
Чтобы Гоша смог подвесить такой груз, ему придется правильно подобрать жесткость жгута: жгут должен иметь достаточную жесткость, чтобы удерживать груз над полом, но не должен быть слишком жесткий, чтобы не перевернулась табуретка.
Ответ: Максимальная масса груза $M = 4mH/\sqrt{8lL}$.
